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我实现了一个函数 (angle_between
) 来计算两个向量之间的角度。它利用针状三角形并基于 Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle和 this related question .
除了一个奇怪的情况,我不明白发生了什么,大多数时候该函数似乎工作正常:
import numpy as np
vectorA = np.array([0.008741225033460295, 1.1102230246251565e-16], dtype=np.float64)
vectorB = np.array([1, 0], dtype=np.float64)
angle_between(vectorA, vectorB) # is np.nan
深入研究我的函数,np.nan
是通过取负数的平方根生成的,负数似乎是该方法精度提高的结果:
foo = 1.0 # np.linalg.norm(vectorA)
bar = 0.008741225033460295 # np.linalg.norm(vectorB)
baz = 0.9912587749665397 # np.linalg.norm(vectorA- vectorB)
# algebraically equivalent ... numerically not so much
order1 = baz - (foo - bar)
order2 = bar - (foo - baz)
assert order1 == 0
assert order2 == -1.3877787807814457e-17
根据 Kahan 的论文,这意味着三元组 (foo, bar, baz) 实际上并不表示三角形的边长。然而,考虑到我构建三角形的方式(请参阅代码中的注释),实际上应该是这种情况。
从这里开始,我对去哪里寻找错误来源感到有点迷茫。有人可以向我解释发生了什么吗?
为了完整起见,这里是我的函数的完整代码:
import numpy as np
from numpy.typing import ArrayLike
def angle_between(
vec_a: ArrayLike, vec_b: ArrayLike, *, axis: int = -1, eps=1e-10
) -> np.ndarray:
"""Computes the angle from a to b
Notes
-----
Implementation is based on this post:
https://scicomp.stackexchange.com/a/27694
"""
vec_a = np.asarray(vec_a)[None, :]
vec_b = np.asarray(vec_b)[None, :]
if axis >= 0:
axis += 1
len_c = np.linalg.norm(vec_a - vec_b, axis=axis)
len_a = np.linalg.norm(vec_a, axis=axis)
len_b = np.linalg.norm(vec_b, axis=axis)
mask = len_a >= len_b
tmp = np.where(mask, len_a, len_b)
np.putmask(len_b, ~mask, len_a)
len_a = tmp
mask = len_c > len_b
mu = np.where(mask, len_b - (len_a - len_c), len_c - (len_a - len_b))
numerator = ((len_a - len_b) + len_c) * mu
denominator = (len_a + (len_b + len_c)) * ((len_a - len_c) + len_b)
mask = denominator > eps
angle = np.divide(numerator, denominator, where=mask)
np.sqrt(angle, out=angle)
np.arctan(angle, out=angle)
angle *= 2
np.putmask(angle, ~mask, np.pi)
return angle[0]
编辑:问题肯定与 float64
有关,并且在使用较大的 float 执行计算时消失:
import numpy as np
vectorA = np.array([0.008741225033460295, 1.1102230246251565e-16], dtype=np.float128)
vectorB = np.array([1, 0], dtype=np.float128)
assert angle_between(vectorA, vectorB) == 0
最佳答案
I just tried the case of setting vectorB as a multiple of vectorA and - interestingly - it sometimes produces nan, sometimes 0 and sometimes it fails and produces a small angle of magnitude 1e-8 ... any ideas why?
是的,我认为这就是您的问题的归结所在。这是来自 the berkeley paper due to Kahan 的公式你一直在使用。 假设a≥b
,a≥c
(只有这样公式才有效)和b+c≈a
。如果我们暂时忽略 mu
并查看平方根下的其他所有内容,它必须都是正数,因为 a
是最长的边。 mu
是 c-(a-b)
,它是 0 ± 一个小错误
。如果该错误为零,您将得到零,顺便说一句。正确的结果。如果误差为负,则平方根给出 nan,如果误差为正,则得到一个小角度。
请注意,当 b+c-a
不为零但小于错误时,相同的参数有效。
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