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我是线性代数的新手,正在学习用 Julia lang 实现的三角系统。我有一个col_bs() 函数 我将在此处展示我需要对 flop 进行数学计算。它不一定是 super 技术,这是为了学习目的。我试图将函数分解为内部 i 循环和外部 j 循环。中间是每个 FLOP 的计数,我认为这是无用的,因为常量通常都会被丢弃。
我也知道答案应该是 N^2,因为它是 正向替换算法的逆向版本,即 N^2 触发器。我尽力推导出这个 N^2 计数,但是当我尝试时,我得到了一个奇怪的 Nj 计数。我会尽力提供我所做的所有工作!感谢所有提供帮助的人。
function col_bs(U, b)
n = length(b)
x = copy(b)
for j = n:-1:2
if U[j,j] == 0
error("Error: Matrix U is singular.")
end
x[j] = x[j]/U[j,j]
for i=1:j-1
x[i] = x[i] - x[j] * U[i , j ]
end
end
x[1] = x[1]/U[1,1]
return x
end
1: To start 2 flops for the addition and multiplication x[i] - x[j] * U[i , j ]
The $i$ loop does: $$ \sum_{i=1}^{j-1} 2$$
2: 1 flop for the division $$ x[j] / = U[j,j] $$
3: Inside the for $j$ loop in total does: $$ 1 + \sum_{i=1}^{j-1} 2$$
4:The $j$ loop itself does:$$\sum_{j=2}^n ( 1 + \sum_{i=1}^{j-1} 2)) $$
5: Then one final flop for $$ x[1] = x[1]/U[1,1].$$
6: Finally we have
$$\\ 1 + (\sum_{j=2}^n ( 1 + \sum_{i=1}^{j-1} 2))) .$$
Which we can now break down.
If we distribute and simplify
$$\\ 1 + (\sum_{j=2}^n + \sum_{j=2}^n \sum_{i=1}^{j-1} 2) .$$
We can look at only the significant variables and ignore constants,
$$\\
\\ 1 + (n + n(j-1))
\\ n + nj - n
\\ nj
$$
这意味着如果我们忽略常量,这个公式失败的最高可能性是 $n$(这可能暗示我的函数有什么问题,因为它应该是 $n^2$,就像其余的一样我相信我们的三角系统)
最佳答案
将您的代码简化为这种形式:
for j = n:-1:2
...
for i = 1:j-1
... do k FLOPs
end
end
内循环取k*(j-1)
拖鞋。因此,外循环的成本是
既然你知道 j <= n
,你知道这个总和小于 (n-1)^2
这对大 O 来说已经足够了。
不过其实你应该也能想通
关于julia - 基于列的反向替换函数的数学失败计数(Julia),我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/69983367/
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