encoding - Binary Lambda Calculus 如何编码括号？

Question

BLC 如何编码括号？例如，这将如何:

λa.λb.λc.(a ((b c) d))

用 BLC 编码？

注意:维基百科的文章不是很有帮助，因为它使用了一种不熟悉的符号，并且只提供了一个不涉及括号的简单示例，以及一个很难分析的非常复杂的示例。这篇论文在这方面是相似的。

Answer 1

如果您指的是基于 Wikipedia 中讨论的 De Bruijn 索引的二进制编码，那实际上非常简单。您首先需要进行 De Bruijn 编码，这意味着用自然数替换变量，表示变量与其 λ 绑定(bind)器之间的 λ 绑定(bind)器的数量。在这个符号中，

λa.λb.λc.(a ((b c) d))

变成

λλλ 3 ((2 1) d)

其中 d 是某个自然数 >=4。由于它在表达式中是未绑定(bind)的，因此我们无法真正判断它应该是哪个数字。

然后编码本身，递归定义为

enc(λM) = 00 + enc(M)
enc(MN) = 01 + enc(M) + enc(N)
enc(i) = 1*i + 0

在哪里 +表示字符串连接，* 表示重复。系统地应用这个，我们得到

  enc(λλλ 3 ((2 1) d))
= 00 + enc(λλ 3 ((2 1) d))
= 00 + 00 + enc(λ 3 ((2 1) d))
= 00 + 00 + 00 + enc(3 ((2 1) d))
= 00 + 00 + 00 + 01 + enc(3) + enc((2 1) d)
= 00 + 00 + 00 + 01 + enc(3) + 01 + enc(2 1) + enc(d)
= 00 + 00 + 00 + 01 + enc(3) + 01 + 01 + enc(2) + enc(1) + enc(d)
= 000000011110010111010 + enc(d)

如您所见，开括号被编码为 01而在此编码中不需要关闭括号。