signal-processing - FFT 结果的大小取决于波频率？

Question

我对从 FFT 得到的结果感到困惑，希望得到任何帮助。

我正在使用 FFTW 3.2.2，但使用其他 FFT 实现(在 Java 中)也得到了类似的结果。当我对正弦波进行 FFT 时，结果的缩放取决于波的频率 (Hz)——特别是，它是否接近整数。当频率接近整数时，结果值被缩放得非常小，而当频率介于整数之间时，它们会大几个数量级。 This graph显示了对应于不同频率的波频率的 FFT 结果中尖峰的幅度。这是正确的吗？？

我检查过 FFT 的逆 FFT 等于原始正弦波乘以样本数，确实如此。 FFT 的形状似乎也是正确的。

如果我分析单个正弦波也不会那么糟糕，因为我可以在 FFT 中寻找尖峰，而不管其高度如何。问题是我想分析正弦波的总和。如果我正在分析 440 Hz 和 523.25 Hz 处的正弦波的总和，那么只会显示 523.25 Hz 处的尖峰。另一个的尖峰非常小，看起来就像噪音。必须有某种方法才能使这项工作起作用，因为在 Matlab 中它确实起作用——我在两个频率上都得到了类似大小的尖峰。如何更改下面的代码以均衡不同频率的缩放？

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath> 
#include <fftw3.h>
#include <cstdio>
using namespace std; 

const double PI = 3.141592;

/* Samples from 1-second sine wave with given frequency (Hz) */
void sineWave(double a[], double frequency, int samplesPerSecond, double ampFactor); 

int main(int argc, char** argv) {

 /* Args: frequency (Hz), samplesPerSecond, ampFactor */
 if (argc != 4)  return -1; 
 double frequency  = atof(argv[1]); 
 int samplesPerSecond = atoi(argv[2]); 
 double ampFactor  = atof(argv[3]); 

 /* Init FFT input and output arrays. */
 double * wave = new double[samplesPerSecond]; 
 sineWave(wave, frequency, samplesPerSecond, ampFactor); 
 double * fftHalfComplex = new double[samplesPerSecond]; 
 int fftLen = samplesPerSecond/2 + 1; 
 double * fft = new double[fftLen]; 
 double * ifft = new double[samplesPerSecond]; 

 /* Do the FFT. */
 fftw_plan plan = fftw_plan_r2r_1d(samplesPerSecond, wave, fftHalfComplex, FFTW_R2HC, FFTW_ESTIMATE);
 fftw_execute(plan); 
 memcpy(fft, fftHalfComplex, sizeof(double) * fftLen); 
 fftw_destroy_plan(plan);

 /* Do the IFFT. */
 fftw_plan iplan = fftw_plan_r2r_1d(samplesPerSecond, fftHalfComplex, ifft, FFTW_HC2R, FFTW_ESTIMATE); 
 fftw_execute(iplan); 
 fftw_destroy_plan(iplan);

 printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]); 
 for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
  printf("\t%.6f", wave[i]); 
 }
 printf("\n"); 
 printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]); 
 for (int i = 0; i < fftLen; i++) {
  printf("\t%.9f", fft[i]); 
 }
 printf("\n"); 
 printf("\n"); 
 printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]); 
 for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
  printf("\t%.6f (%.6f)", ifft[i], samplesPerSecond * wave[i]);  // actual and expected result
 }

 delete[] wave; 
 delete[] fftHalfComplex; 
 delete[] fft; 
 delete[] ifft; 
}

void sineWave(double a[], double frequency, int samplesPerSecond, double ampFactor) {
 for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
  double time = i / (double) samplesPerSecond; 
  a[i] = ampFactor * sin(2 * PI * frequency * time); 
 }
}

Answer 1

The resulting values are scaled really small when the frequency is near a whole number, and they're orders of magnitude larger when the frequency is in between whole numbers.

这是因为快速傅立叶变换假设输入是周期性的并且无限重复。如果您有非整数个正弦波，并且您重复此波形，则它不是完美的正弦波。这会导致 FFT 结果受到 "spectral leakage" 的影响。

调查 window functions .这些会在开始和结束时衰减输入，从而减少频谱泄漏。

ps:如果您想获得基本频率周围的精确频率内容，请捕获大量波形周期，并且每个周期不需要捕获太多点(每个周期 32 或 64 个点可能就足够了)。如果您想在高次谐波处获得精确的频率内容，请捕获更少的周期数，以及每个周期的更多点。