physics - 如何用量子谐振子波函数进行数值积分？

Question

怎么办数值积分 (什么数值方法，使用什么技巧)用于无限范围内的一维积分，其中被积函数中的一个或多个函数是 1d quantum harmonic oscillator波函数。其中，我想计算谐振子基中某些函数的矩阵元素:

phi_n(x) = N_n H_n(x) exp(-x²/2)
where H_n(x) is Hermite polynomial

V_m,n = \int_{-infinity}^{infinity} phi_m(x) V(x) phi_n(x) dx

同样在存在不同宽度的量子谐波波函数的情况下。

问题是波函数 phin(x) 具有振荡行为，这对于大 n 来说是一个问题，而 GSL(GNU 科学库)的自适应高斯-克朗罗德正交等算法需要很长时间来计算，并且有很大的误差。

Answer 1

一个不完整的答案，因为我现在时间有点紧；如果其他人无法完成图片，我可以稍后提供更多详细信息。

随时随地应用波函数的正交性。这应该会显着减少计算量。

做任何你能做的分析。提升常数，按部分分割积分，等等。隔离感兴趣的区域；大多数波函数都是带限的，减少感兴趣的区域会大大节省工作量。

对于正交本身，您可能希望将波函数分成三部分并分别积分:中心的振荡位加上两侧的指数衰减尾部。如果波函数是奇数，那么你很幸运，尾部会相互抵消，这意味着你只需要担心中心。对于偶数波函数，您只需将其积分并加倍(对称性万岁!)。否则，使用高阶 Gauss-Laguerre 求积法则对尾部进行积分。您可能需要自己计算规则；我不知道表格是否列出了良好的 Gauss-Laguerre 规则，因为它们不经常使用。随着规则中节点数量的增加，您可能还想检查错误行为；我已经很久没有使用 Gauss-Laguerre 规则了，我不记得它们是否表现出 Runge 现象。使用您喜欢的任何方法集成中心部分；当然，Gauss-Kronrod 是一个不错的选择，但也有 Fejer 正交(有时可以更好地扩展到大量节点，这可能在振荡被积函数上效果更好)甚至梯形规则(在某些振荡函数中表现出惊人的准确性)。选择一个并尝试一下；如果结果不佳，请尝试另一种方法。

有史以来最难的问题？几乎不 :)