image-processing - 为什么基本矩阵有 7 个自由度？

Question

基本矩阵中有 9 个参数来关联左右图像的像素坐标，但只有 7 个自由度 (DOF)。

我搜索过的几页上的推理说:

齐次方程意味着我们失去了一个自由度

F = 0 的行列式，因此我们失去了另一个自由度。

我不明白为什么这两个原因意味着我们失去了 2 个自由度 - 有人可以解释一下吗？

Answer 1

我们最初有 9 个自由度，因为基本矩阵由 9 个参数组成，这意味着我们需要 9 个对应点来计算基本矩阵 (F)。但是由于以下两个原因，我们只需要7个对应点。

原因一

我们失去了 1 个自由度，因为我们使用了 齐次坐标 .这基本上是一种通过添加额外维度将 nD 点表示为向量形式的方法。即)2D 点 (0,2) 可以表示为 [0,2,1]，通常为 [x,y,1]。将齐次坐标与 2D/3D 变换一起使用时有一些有用的属性，但我假设您知道这一点。

现在给出表示像素坐标的表达式 p 和 p':

p'=[u',v',1] and p=[u,v,1]

基本矩阵:

F = [f1,f2,f3]
    [f4,f5,f6]
    [f7,f8,f9]

和基本矩阵方程:

(transposed p')Fp = 0

当我们以代数形式乘以这个表达式时，我们得到以下结果:

uu'f1 + vu'f2 + u'f3 + uv'f4 + vv'f5 + v'f6 + uf7 + vf8 + f9 = 0. 

在线性方程形式 Af=0 的齐次系统中(基本上是上述公式的因式分解)，我们得到两个分量 A 和 f。

A:

[uu',vu',u', uv',vv',v',u,v,1] 

f(f本质上是向量形式的基本矩阵):

[f1,f2'f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9]

现在，如果我们查看向量 A 的分量，我们有 8 个未知数，但由于齐次坐标，我们有一个已知值 1，因此我们现在只需要 8 个方程。

原因2

det F = 0.

行列式是可以从方阵获得的值。

我不完全确定这个属性的数学细节，但我仍然可以推断出基本思想，希望你也可以。

基本上给出了一些矩阵 A

A = [a,b,c]
    [d,e,f]
    [g,h,i]

可以使用以下公式计算行列式:

det A = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

如果我们使用基本矩阵查看行列式，代数将如下所示:

F = [f1,f2,f3]
    [f4,f5,f6]
    [f7,f8,f9]

det F = (f1*f5*f8)+(f2*f6*f7)+(f3*f4*f8)-(f3*f5*f7)-(f2*f4*f9)-(f1*f6*f8)

现在我们知道基本矩阵的行列式为零:

det F = (f1*f5*f8)+(f2*f6*f7)+(f3*f4*f8)-(f3*f5*f7)-(f2*f4*f9)-(f1*f6*f8) = 0

因此，如果我们只计算出基本矩阵的 9 个参数中的 7 个，我们可以使用上述行列式方程计算出最后一个参数。

因此基本矩阵有7DOF。