math - 计算多面体体积的通用公式

Question

给定顶点列表(v)，连接顶点的边列表(e)和连接边的曲面列表(s)，如何计算多面体的体积？

Answer 1

取多边形并将其分成三角形。

考虑由每个三角形和任意点(原点)形成的四面体。

对这些四面体的带符号卷求和。

笔记:

仅当您可以从外部观察到对三角形保持一致的CW或CCW顺序时，此方法才有效。

四面体的有符号体积等于以下矩阵的行列式的1/6:

[x1 x2 x3 x4]
[y1 y2 y3 y4]
[z1 z2 z3 z4]
[1 1 1 1]

其中列是折点(x，y，z，1)的齐次坐标。

即使形状没有通过减去该体积并将其添加进来而将原点包围起来，它也起作用，但这取决于是否具有一致的顺序。

如果不能保留该顺序，您仍然可以找到某种方法将其分解为四面体，并将每个行列式的行列式的绝对值相加1/6。

编辑:
我想补充一下，对于四面体的一个顶点(例如V4)为(0,0,0)的三角形网格，可以将4x4矩阵的行列式简化为左上3x3(沿0,0展开， 0,1列)，可以简化为Vol = V1xV2.V3，其中“x”是叉积和“。”。是点积。因此，为每个三角形计算该表达式，将这些体积相加并除以6。