haskell - 泛化 ($)，如 Control.Category 泛化 (.)

Question

我想概括 ($)喜欢 Control.Category概括(.) ，并且我已经使用本文末尾的代码 (also ideone) 完成了此操作。

在这段代码中，我创建了一个名为 FunctionObject 的类。 .这个类有一个函数($)带有以下签名:

($) :: f a b -> a -> b

自然我做 (->)此类的一个实例，所以 $继续使用普通功能。

但这允许您创建特殊函数，例如，知道它们自己的逆函数，如下例所示。

我已经得出结论，有以下三种可能性之一:

我是第一个想到的。

其他人已经做到了，而我正在重新发明轮子。

这是个坏主意。

选项 1 似乎不太可能，我在 hayoo 上的搜索没有透露选项 2，所以我怀疑选项 3 最有可能，但如果有人能解释为什么会这样，那就太好了。

import Prelude hiding ((.), ($))
import Control.Category ((.), Category)

class FunctionObject f where
  ($) :: f a b -> a -> b

infixr 0 $

instance FunctionObject (->) where
  f $ x = f x

data InvertibleFunction a b = 
   InvertibleFunction (a -> b) (b -> a)

instance Category InvertibleFunction where
  (InvertibleFunction f f') . (InvertibleFunction g g') =
    InvertibleFunction (f . g) (g' . f')

instance FunctionObject InvertibleFunction where
  (InvertibleFunction f _) $ x = f $ x

inverse (InvertibleFunction f f') = InvertibleFunction f' f

add :: (Num n) => n -> InvertibleFunction n n
add n = InvertibleFunction (+n) (subtract n)

main = do
  print $ add 2 $ 5 -- 7
  print $ inverse (add 2) $ 5 -- 3

Answer 1

$将态射应用于值。值的概念似乎微不足道，但实际上，一般类别不需要这样的概念。态射是值(箭头值......无论如何)，但对象(类型)实际上不需要包含任何元素。

但是，在许多类别中，都有一个特殊的对象，terminal object .在 哈斯克 ，这是()类型。你会注意到函数 () -> a基本上相当于a重视自己。该作品所属的分类称为 well-pointed .所以真的，你需要的基本东西像 $有意义的是

class Category c => WellPointed c where
  type Terminal c :: *
  point :: a -> Terminal c `c` a
  unpoint :: Terminal c `c` a -> a

然后您可以通过以下方式定义应用程序运算符

($) :: WellPointed c => c a b -> a -> b
f $ p = unpoint $ f . point p

WellPointed 的明显例子当然是 哈斯克本身:

instance WellPointed (->) where
  type Terminal c = ()
--point :: a -> () -> a
  point a () = a
--unpoint :: (() -> a) -> a
  unpoint f = f ()

另一个众所周知的类别， Kleisli , 不是 WellPointed 的实例正如我写的那样(它允许 point ，但不允许 unpoint )。但是有很多类别可以成为一个好的 WellPointed例如，如果它们完全可以在 Haskell 中正确实现。基本上，所有具有特定属性的数学函数类别( Lin_K ， Grp ， {{•}, Top} ...)。这些不能直接表示为 Category 的原因是他们不能有任何 Haskell 类型作为对象；较新的类别库，如 categories或 constrained-categories允许这样做。例如， I have implemented this :

instance (MetricScalar s) => WellPointed (Differentiable s) where
  unit = Tagged Origin
  globalElement x = Differentiable $ \Origin -> (x, zeroV, const zeroV)
  const x = Differentiable $ \_ -> (x, zeroV, const zeroV)

如您所见， the class interface实际上和我上面写的有点不同。在 Haskell 中还没有一种普遍接受的方式来实现这些东西……在 constrained-categories , $运算符实际上更像 Cirdec 描述的那样工作。