haskell - Haskell中的`(a -> b) -> (c -> d)`？

Question

这是又一个 Haskell-through-category-theory 问题。

让我们以一个简单而众所周知的事情为例。 fmap ?
所以fmap :: (a -> b) -> f a -> f b , 省略了 f实际上是一个Functor .据我了解，(a -> b) -> f a -> f b只不过是一个语法糖 对于(a -> b) -> (f a -> f b) ;因此得出结论:

(1) fmap是产生函数的函数。

现在，哈斯克也包含函数，所以 (a -> b)尤其是 (f a -> f b)是 一个对象 Hask 的对象(因为 Hask 的对象是定义明确的 Haskell 类型 - 也就是数学集 - 并且对于每个可能的 (a -> b) 确实存在 a 类型的集合，对吗？)。所以，再一次:

(2) (a -> b)是 Hask 的一个对象。

现在奇怪的事情发生了:fmap , 显然是 态射 Hask的，所以它是一个函数，它接受另一个函数并将其转换为另一个函数； 最终功能尚未应用 .

因此，需要一个 Hask 态射才能从 (f a -> f b) 得到。到f b .对于每个项目i类型 a存在态射apply_i :: (f a -> f b) -> f b定义为 \f -> f (lift i) , 其中 lift i是一种构建 f a 的方法特别是 i里面。

另一种查看方式是GHC -风格:(a -> b) -> f a -> f b .与我上面写的相比，(a -> b) -> f a是映射到 Hask 的常规对象。但是这种观点与基本的 Haskell 公理相矛盾——没有多元函数，而是应用(柯里化(Currying))替代方案。

我现在想问一下:是(a -> b) -> f a -> f b假设是 (a -> b) -> (f a -> f b) -> f b ，为了简单而加糖，还是我错过了一些非常非常重要的东西？

Answer 1

is (a -> b) -> f a -> f b suppose to be an (a -> b) -> (f a -> f b) -> f b, sugared for simplicity

不，我认为你缺少的，并不是你的错，只是 (a -> b) -> (f a -> f b) 中的中间箭头只是一个非常特殊的情况。可以和外层 (a -> b) -> (f a -> f b) 一样称为态射能够。 Functor 类的一般情况是(在伪语法中)

class (Category (──>), Category (~>)) => Functor f (──>) (~>) where
  fmap :: (a ──> b) -> f a ~> f b

因此，它将态射映射到箭头标记为 ──> 的类别中。到类别 ~> 中的态射，但是这个态射映射本身只是一个简单的函数。您的权利，在 哈斯克具体来说，函数箭头与态射箭头是同一种箭头，但从数学上讲，这是一个相当退化的场景。