3d - 四元数 - 如何限制轴？

Question

是否有可能将四元数限制为仅在 x 和 y 轴上移动(例如在 Eulers-yaw 和 pitch 中，没有滚动)？我有什么方程式或类似的东西可以做到这一点吗？

一些例子:

运动应该像这样:http://360.art.pl/experimental/1/
但是当我在四元数上构建我的播放器时，它没有限制，我不知道如何修复它 http://360.art.pl/experimental/2/

Answer 1

您可以尝试直接从 yaw/pitch 构造四元数:

q = quat_from_axis_angle(up_vector, yaw) * quat_from_axis_angle(local_right, pitch)

(您可能需要以相反的顺序将它们相乘，具体取决于您将它们转换为旋转矩阵的精确程度)，或者在每次更改它们时重新对齐它们:

rotated_right = apply_rotation(q, local_right);
projected_right = rotated_right - dot(rotated_right, up_vector) * up_vector;
realign = quat_align_vector(rotated_right, normalized(projected_right));
q = realign * q

projected_right这是 rotated_right 的投影到水平面上。如果不滚动，这两个向量必须相同，这意味着 dot(rotated_right, up_vector) = 0 .最后一个等式是必须满足的实际约束。在 q 中是二次的.例如。为 local_right=(1,0,0) , 和 up_vector=(0,0,1) ，变成 dot(q*(1i+0j+0k)*conj(q), 0i+0j+1k)=2*x*z-2*w*y=0 , 与 q=w+xi+yi+zk .

您可以找到 quat_from_axis_angle 的公式和 apply_rotation在 http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion和 http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation .至于 quat_align_vector ，一种方法是

quat_align_vector(src, dst) = sqrt([dot(src, dst), cross(src, dst)])

与 [a, b]用实部生成四元数 a , 和一个虚部 b . Sqrt(x)可以计算为 exp(ln(x)/2) (这些功能也在 wiki 上)。你也可以尝试用 exp(ln(x)/2*tick*realign_rate) 替换 sqrt为了平滑恢复向上向量:)。或者反其道而行之，稍微简化一下公式:

quat_align_vector(src, dst) = [dot(halfway, dst), cross(halfway, dst)],
halfway = normalized(normalized(src) + normalized(dst))

另见 https://stackoverflow.com/a/1171995 .

编辑:更正的向量，添加了约束。