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我最近发现了一个有趣的问题,它看起来是这样的:
有一个沉闷的排序算法,它从数组中取第一个数,它找到一个比第一个元素低1的元素(或者当没有较低的元素时它取最高的元素一),并把它放在前面。 将索引为 x(从 0 开始计数)的元素放在前面的成本等于它的索引。它会继续这个过程,直到数组被排序。 任务是统计排序所有n!从 1 到 n 的数字排列。答案可能很大,所以答案应该取模 m(n 和 m 在输入中给出)
示例:
Input (n,m): 3 40
Answer: 15
There are permutations of numbers from 1 to 3. The costs of sorting them are:
(1,2,3)->0
(1,3,2)->5
(2,1,3)->1
(2,3,1)->2
(3,1,2)->4
(3,2,1)->3
sum = 15
我的程序生成了所有可能的数组并将它们一一排序。它的复杂度是 O(n!*n^2),太高了。我被我所有的想法和这个蛮力解决方案困住了。
我还发现了一些有趣的事情:
最佳答案
排序算法有两个阶段:首先对排列进行排序进入身份的某种旋转,然后将其旋转到身份。我们分别计算这些阶段的成本。
第一阶段最多包含 n−2 步。在 n−1−j 移动之后,排列由 n−j 个值 x, x+1, x+2, … mod n 后跟一个剩余 j 值的排列,假设我们从一个随机排列,同样可能是在任何特定的顺序。我们必须移动 x−1 mod n 的预期距离是 ((n−j)+(n−1))/2。但是等一下,如果我们仍处于第一阶段,我们只会计算移动。因此,我们需要对排列已经是 a 的情况进行打折回转。有 n!/j!他们中的,他们最后都有 x−1,所以每个的折扣是 n−1。
第二阶段平均由 (n−1)/2 次移动组成到开头的排列,每个排列的成本为 n−1。平均费用总而言之!因此,排列是 (n−1)²/2。
我将在下面保留 Python 的模块化算法/强度约简作为练习。
from itertools import permutations
from math import factorial
# Returns the total cost of sorting all n-element permutations.
def fast_total_sort_cost(n):
cost = 0
for j in range(n - 1, 0, -1):
cost += factorial(n) * ((n - j) + (n - 1)) // 2
cost -= (factorial(n) // factorial(j)) * (n - 1)
return cost + factorial(n) * (n - 1) ** 2 // 2
# Reference implementation and test.
def reference_total_sort_cost(n):
return sum(sort_cost(perm) for perm in permutations(range(n)))
def sort_cost(perm):
cost = 0
perm = list(perm)
while not is_sorted(perm):
i = perm.index((perm[0] - 1) % len(perm))
cost += i
perm.insert(0, perm.pop(i))
return cost
def is_sorted(perm):
return all(perm[i - 1] <= perm[i] for i in range(1, len(perm)))
if __name__ == "__main__":
for m in range(1, 9):
print(fast_total_sort_cost(m), reference_total_sort_cost(m))
关于algorithm - 用于排序的重新洗牌次数,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/69829686/
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