2d - fftw c2c : missing symmetry in transformed real data

Question

最近我遇到了一些关于使用 fftw 及其 c2c 转换的问题(参见:3d c2c fft with fftw library)。当我发现我在使用 fftw 库时遇到的问题，我创建了一个新问题，以便以更具体的方式讨论这种情况。由于我正在对真实数据进行复杂到复杂的转换，因此我在傅立叶空间中转换后的数据应该是对称的:F[n] = con(F[N-n])

现在我对小块测试数据进行了一些转换，以检查转换后的数据是否具有这种对称性。对于 1D 变换，一切都按预期工作，但对于更高的维度，我得到了真正意想不到的结果。

我正在使用 fftwf_plan_dft_2d 将 8x8 灰度图像转换为傅立叶空间，复数结果由下式给出:

n 
0 real 7971 imag 0 
1 real -437.279 imag -802.151 
2 real -289 imag -566 
3 real -182.721 imag 15.8486 
4 real 31 imag 0 
5 real -182.721 imag -15.8486 
6 real -289 imag 566 
7 real -437.279 imag 802.151 
8 real -1499.79 imag -315.233 
9 real 182.693 imag -74.5563 
10 real 55.9239 imag -12.8234 
11 real -84.7868 imag -9.10052 
12 real -14.4264 imag 211.208 
13 real 289.698 imag 214.723 
14 real 452.659 imag -246.279 
15 real 1136.35 imag -763.85 
16 real 409 imag -134 
17 real -141.865 imag 42.6396 
18 real -33 imag 122 
19 real 129.075 imag -49.7868 
20 real 1 imag -150 
21 real 109.865 imag -84.6396 
22 real 95 imag -142 
23 real -841.075 imag -92.2132 
24 real -108.207 imag -89.2325 
25 real -127.213 imag 28.8995 
26 real -36.6589 imag -8.27922 
27 real -74.6934 imag 43.4437 
28 real 70.4264 imag 29.2082 
29 real -88.3545 imag -81.8499 
30 real -127.924 imag -190.823 
31 real 230.302 imag 8.7229 
32 real -53 imag 0 
33 real -73.1127 imag -22.8578 
34 real -85 imag -82 
35 real -10.8873 imag 51.1421 
36 real -65 imag 0 
37 real -10.8873 imag -51.1421 
38 real -85 imag 82 
39 real -73.1127 imag 22.8578 
40 real -108.207 imag 89.2325 
41 real 230.302 imag -8.7229 
42 real -127.924 imag 190.823 
43 real -88.3545 imag 81.8499 
44 real 70.4264 imag -29.2082 
45 real -74.6934 imag -43.4437 
46 real -36.6589 imag 8.27922 
47 real -127.213 imag -28.8995 
48 real 409 imag 134 
49 real -841.075 imag 92.2132 
50 real 95 imag 142 
51 real 109.865 imag 84.6396 
52 real 1 imag 150 
53 real 129.075 imag 49.7868 
54 real -33 imag -122 
55 real -141.865 imag -42.6396 
56 real -1499.79 imag 315.233 
57 real 1136.35 imag 763.85 
58 real 452.659 imag 246.279 
59 real 289.698 imag -214.723 
60 real -14.4264 imag -211.208 
61 real -84.7868 imag 9.10052 
62 real 55.9239 imag 12.8234 
63 real 182.693 imag 74.5563

对于这么长的数据列表感到抱歉，但它显示了我的问题。

例如对于 F[3]=-182.721 + 15.8486i 我期望 F[64-3] = F[61] = -182.721 - 15.8486i,但如您所见，它是 -84.7868 + 9.10052i。相反，F[3] 的共轭位于索引 5。其他对也是如此。

如果有系统我找不到。

完整代码如下:

QImage image("/Users/wolle/Desktop/wolf.png");
int w = image.width();
int h = image.height();
int size  = w * h;

cl_float *rawImage = imageToRaw(image); // converts a QImage into an rgb array [0..255]

fftwf_complex *complexImage = (fftwf_complex*) fftwf_malloc(sizeof(fftwf_complex) * size);
fftwf_complex *freqBuffer = (fftwf_complex*) fftwf_malloc(sizeof(fftwf_complex) * size);

// real data to complex data
for (int i = 0; i < size; i++)
{
    complexImage[i][0] = (float)rawImage[i];
    complexImage[i][1] = 0.0f;
}

fftwf_plan forward = fftwf_plan_dft_2d(w, h, complexImage, freqBuffer, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);

fftwf_execute(forward);

for (int y = 0; y < h; y++)
{
    for (int x = 0; x < w; x++)
    {
        int gid = y * w + x;
        qDebug() << gid  << "real" << freqBuffer[gid][0] << "imag" << freqBuffer[gid][1];
    }
}

我会很感激一些帮助。 :-D

问候

狼

Answer 1

对于二维傅立叶变换，当 x 为实数时，FFT(x) 仍然是共轭对称的。但这是二维的。因此索引 16*x+y 处的 (x,y) 元素应该是索引 16*(16-x mod 16)+(16-y mod 16) 处的 (16-x,16-y) 元素的共轭，当 y 不为 0 时，它是 272-16*x-y mod 256。

但我认为虽然您说的是 16x16，但您实际上是指 8x8。因此，8*x+y 处的 (x,y) 与 8*(8-x mod 8) + (8-y mod 8) 处的 (8-x,8-y) 共轭。

特别是，例如，当 x=0 时，共轭元素是 y 和 8-y——例如，包括 3 和 5，如您所见。

(当 x=0 或 y=0 时，上面的“8-y mod 8”表示 0。)