wolfram-mathematica - Mathematica 中列表的数值微分

Question

如何在 Mathematica 中对列表进行数值微分而不先将其拟合为数学表达式(即使用 FindFit )？

具体来说，我想在列表中找到最大斜率的点。

我已经考虑使用 Differences并找到最大差异，但数据中的噪声会使结果不准确。使用 MovingAverage 平滑数据也没有帮助。

提前致谢。

Answer 1

你可以试试 ListConvolve使用高斯内核来平滑您的数据。它的一个很好的特点是 的衍生物。卷积使用高斯核等效于使用 进行卷积衍生品高斯核。

以下是一些示例数据:

data = Table[Sin[x] + .5 RandomReal[{-1, 1}], {x, 0, 6 \[Pi], .05}];
ListLinePlot[data]

这是一个使用高斯核的简单卷积:

data2 = 
  Block[{\[Sigma] = 2}, 
   ListConvolve[
    Table[1/(Sqrt[2 \[Pi]] \[Sigma]) E^(-x^2/(2 \[Sigma])), 
         {x, -2 , 2, 1/10}
    ], data, {11, 11}
   ]
  ];  
ListLinePlot[data2]

与高斯的一阶导数卷积:

data3 = 
  Block[{\[Sigma] = 1}, 
   ListConvolve[
    Table[-((E^(-(x^2/(2 \[Sigma]))) x)/(Sqrt[2 \[Pi]] \[Sigma]^2)), 
      {x, -2 \[Sigma],2 \[Sigma], \[Sigma]/10}
    ], data, {11, 11}
   ]
  ];
ListLinePlot[data3]

您可能想使用 sigma 参数来查看在您的情况下获得最佳结果的方法。

这背后的整个理论被称为 Scale Space .请注意，上述关于卷积的陈述适用于连续空间。 For a discrete implementation, the kernel could be chosen somewhat better.

进一步注意，就像移动平均一样，卷积可以移动数据的特征。