c - tan(x) = infinity 的不可能性证明(或反例)，对于浮点值

Question

POSIX page的tan C 中的函数系列( tan 、 tanf 、 tanl )说:

If the correct value would cause overflow, a range error shall occur and tan(), tanf(), and tanl() shall return ±HUGE_VAL, ±HUGE_VALF, and ±HUGE_VALL, respectively, with the same sign as the correct value of the function.

但是，在实践中实际获得 infinity是非常困难的。/ -infinity在这种情况下，由于浮点数需要足够接近 π/2，这样它的正切将大于该类型的最大可表示浮点值。
根据经验，即使使用 nextafter，我也无法使用标准 glibc 获得这样的结果。函数以获得最接近 π/2 的可能值(使用 atan(1) * 2 作为“半个 π”，然后从那里开始，无论是向左还是向右)。
所有(32 位)的详尽测试 float s 确认这对于 32 位是正确的，至少在我的库中是这样。测试 double 的 π/2 附近s 和 long double s 表明这也是他们的情况。然而，详尽的测试有点太长了:我需要测试 (2k+1)•π/2 的附近，因为 ∀k ∈ ℤ。
那么，是否有一些数学或实践论证可以让人们得出结论，至少在“合理正确”的库实现中(例如，使用一些测量的 ULP 边界，就像对 GNU C library math functions 所做的那样)，浮点值的精度永远是这样的 tan(x)将适合这些值的有限表示吗？换句话说，那个 tan向无穷大增长的速度不会比我们接近 π/2 的速度更快吗？
请注意，我不包括 tan(NAN)和 tan(INFINITY)从讨论中，因为这些记录了返回 NaN 的极端情况。此外，使用次正规数可能会获得不同的结果，但由于它们只出现在零附近而不是 π/2 附近，我相信我们可以排除它们。
因此，我正在寻找一些数学论证/证明/详尽的测试来表明这不会发生，或者只是一个反例，其中包括任何标准 C 库实现，包括 <math.h>并调用 tan可以;但不包括具有非标准的特定库 tan - 类似的功能。

Answer 1

... is there some mathematical or practical argument that allows one to conclude that, ... the precision of floating-point values will always be such that tan(x) will fit in a finite representation of these values?

π 是一个无理数，正如 some_odd_integer*π/2 - 数学切线的极点(some_radian_measure)。
所有有限浮点值都是有理数。因此没有 double是 π/2 和 tan(some_finite_double) 的整数倍从来都不是极点。 some_odd_n*π/2可能非常接近 double a如 6381956970095103 ∗ 2797。如果为真，则 tan(a)很大。
这是接近 K.C. Ng's "ARGUMENT REDUCTION FOR HUGE ARGUMENTS: Good to the Last Bit" Chapter 2.3 .这大致意味着 some_odd_n*π/2 中大约 2-62 的最接近的大小写差异所有 double .这样的值 a关闭 some_odd_n*π/2 2-62 导致 tan()大约 262 个，在 double 之内范围为 21023。
这个关键点是对于一些FP类型有 tan(a)超过 FP_MAX， a必须非常接近 some_odd_n*π/2 ，按照 log2(FP_MAX) 的顺序。对于更宽的 FP 类型，这种情况不太可能发生，因为精度是线性的，并且范围与位宽呈指数关系。它可能发生在比 binary16 窄的人为 FP 类型中。 .

注: tan()第一步是将参数减少到主要范围 [-π/2...π/2]。 IMO，这比小学更难做好 tan()评估。因此 tan() 的质量(或缺乏)如果值接近 some_odd_n*π/2，实现可能会产生显着更大(且不正确)的结果.

I'm looking for either some mathematical argument/proof/exhaustive test that shows this does not happen,

有关如何确定最坏情况的想法，请参阅上面链接的文章中的“使用与 π 相关的连分数”(引用文献 6)。