r - 使用正态分布计算概率。和 R 中的 t 分布

Question

我有这个样本:

x=c(92L, 9L, 38L, 43L, 74L, 16L, 75L, 55L, 39L, 77L, 76L, 52L, 
100L, 85L, 62L, 60L, 49L, 28L, 6L, 27L, 63L, 22L, 23L, 99L, 61L, 
25L, 19L, 48L, 91L, 57L, 97L, 84L, 31L, 87L, 1L, 21L, 30L, 41L, 
13L, 72L, 68L, 95L, 47L, 11L, 24L, 58L, 18L, 67L, 33L, 8L, 50L, 
4L, 40L, 12L, 73L, 78L, 86L, 69L, 44L, 83L, 94L, 65L, 37L, 70L, 
54L, 46L, 15L, 53L, 89L, 98L, 90L, 3L, 14L, 17L, 42L, 45L, 79L, 
20L, 32L, 34L, 64L, 88L, 81L, 96L, 59L, 71L, 56L, 26L, 51L, 29L, 
80L, 7L, 36L, 93L, 82L, 35L, 5L, 2L, 10L, 66L)

我想计算这个概率:P(x) > Mean(x) + 3 假设数据呈正态分布。

所以我这样做:mean(x) = 50.5 ; sd(x)=29.01

我生成密度分布并计算我的概率，现在是:

P(x) > 53.5

pnorm(53.5, mean=mean(x), sd=sd(x), lower.tail=FALSE) 

如果我想使用标准分布计算:

P(x)>(53.5) = P(z=(x-mean(x)/sd(x))) > ((53.5 - 50.5)/29.01) = P(z)>(3/29.01)

pnorm(3/29.01149, mean=0, sd=1, lower.tail=FALSE) 

但是当我想使用 T-Student Distribution 时，我该如何进行呢？

Answer 1

这里使用 t 分布更合理，因为标准误差是根据数据估计的。

pt(3 / sd(x), df = length(x) - 1, lower.tail = FALSE)
# [1] 0.4589245

我们有 length(x) 个数据，但也估计了 1 个参数(标准误差)，所以 t 分布的自由度是 length(x) - 1.

虽然 length(x) 为 100(足够大)，但与使用正态分布相比没有太大区别:

pnorm(3 / sd(x), lower.tail = FALSE)
# [1] 0.4588199