haskell - 使 Applicative 成为 Monad 所需的 'minimum' 是什么？

Question

Monad typeclass 可以用 return 来定义和 (>>=) .但是，如果我们已经有一个 Functor某些类型构造函数的实例 f ，那么这个定义在 (>>=) 中有点“超出我们的需要”和 return可用于实现 fmap所以我们没有使用 Functor我们假设的例子。
相反，定义 return和 join似乎是一种更“最小”/更少冗余的方式来制作 f一个 Monad .这样，Functor约束是必不可少的，因为 fmap不能用这些操作来写。 (注意 join 不一定是从 Functor 到 Monad 的唯一最小方法:我认为 (>=>) 也可以。)
同样，Applicative可以用 pure 来定义和 (<*>) ，但是这个定义再次没有利用 Functor约束，因为这些操作足以定义 fmap .
但是，Applicative f也可以使用 unit :: f () 定义和 (>*<) :: f a -> f b -> f (a, b) .这些操作不足以定义fmap所以我会说在某种意义上这是从 Functor 出发的更简单的方法。至Applicative .
是否有 Monad 的特征？如fmap , unit , (>*<) ，以及其他一些最小的运算符，因为这些函数都不能从其他函数派生？

(>>=)不起作用，因为它可以实现 a >*< b = a >>= (\ x -> b >>= \ y -> pure (x, y))在哪里 pure x = fmap (const x) unit .

join 也没有自从 m >>= k = join (fmap k m)所以(>*<)可以如上实现。

我怀疑 (>=>)同样失败。

Answer 1

我有东西，我想。它远非优雅，但至少足以让你摆脱困境。我从 join :: m (m a) -> ??? 开始并问“它会产生什么需要 (<*>) 才能回到 m a ？”，我发现了一条富有成效的思路，可能有更多的战利品。
如果你引入一个新类型T只能在 monad 内部构造:

t :: m T

然后你可以定义一个类似连接的操作，它需要这样的 T :

joinT :: m (m a) -> m (T -> a)

我们可以生成 T 的唯一方法我们需要去甜蜜的，甜蜜的 a里面是使用 t ，然后我们必须将其与 joinT 的结果相结合不知何故。有两个基本操作可以结合两个 m合二为一: (<*>)和 joinT -- fmap没有帮助。 joinT行不通，因为我们只需要另一个 T使用它的结果，所以 (<*>)是唯一的选项，这意味着 (<*>)不能用 joinT 来定义.
如果你愿意的话，你可以把这一切都卷成一个存在主义。

joinT :: (forall t. m t -> (m (m a) -> m (t -> a)) -> r) -> r