automata - 如何构造 L={a^nb^m where n<=m<=2n} 的下推自动机？

Question

它应该在不使用 2 个堆栈的情况下构建。我试过了，但如果没有 2 个堆栈我就做不到。

Answer 1

这是策略:我们可以轻松地制作一个接受 a^n b^n 的 PDA，我们可以轻松制作一个接受 a^n b^2n 的 PDA。我们的语言是这些语言的超集，它也接受在 n 和 2n 之间有多个 b 的任何东西。我们可以利用不确定性来实现这一点:对于我们放入堆栈的每个 a，我们可以不确定地决定在弹出 a 之前是消耗一个还是两个 b。如果我们的 NPDA 选择每次消费一个，我们会得到 a^n b^n。如果它选择每次消耗两个，我们得到 a^n b^2n。如果它选择了两者中的一些，我们会在这两个极端之间得到一些 b。只有当我们用空堆栈耗尽输入时才接受。

Q    s    S    Q'    S'    Comment

q0   e    e    qA    e     Allow empty string to be accepted

q0   a    x    q0    ax    Count a and push onto stack
q0   e    x    q1    x     Transition to counting b

q1   b    ax   q1    x     Mark off a single b for each a
q1   b    ax   q2    x     Mark off the first of two b for this a
q1   e    e    qA    e     Allow string in language to be accepted

q2   b    x    q1    x     Mark off the second of two b for this a

在这个PDA中，我们有 q0作为初始状态和 qA作为接受状态。处理上 aabbb :

   q0, aabbb, e 
-> q0, abbb, a 
-> q0, bbb, aa
-> q1, bbb, aa
-> q1, bb, a
-> q2, b, e
-> q1, e, e
-> qA, e, e

当然，有很多解析不会导致 qA，但在 NPDA 中，如果至少有一个，我们接受。