smt - smt2 中的类型不匹配

Question

下面的 smt2 代码给出了与类型相关的错误。

( declare-datatypes ( ( List 1 ) )
  ( ( par ( T ) ( ( cons ( hd T ) ( tl ( List T ) ) )
 ( nil )
 ) )
 ) )

 (declare-sort Ty 0) 
(define-fun-rec func ((x (List Ty) ) (y (List Ty)))     (List Ty)
        (match  x   ( ((cons xt xts) ( cons xt (func xts y)) )
                      ( nil nil )
                    )
        )
)

错误:

(error "Both branches of the ITE must be a subtype of a common type.
then branch: ((lambda ((xt Ty) (xts (List Ty))) (cons xt (func xts y))) (hd x) (tl x))
its type   : (List Ty)
else branch: nil
its type   : (List T)
")

为什么它不知道使用返回类型，有没有办法做到这一点？

一种方法是手动将其设置为 (nil (as nil (List Ty)) )这解决了错误但我不想在程序中的每个 nil 处指定返回类型。
还有其他方法吗？或者我需要提到的任何选项启用？

Answer 1

这是设计使然。 SMTLib 的类型系统不是为了进行任何类型的推理而设计的，目的是让求解器轻松明确地加载规范。参见 http://smtlib.cs.uiowa.edu/papers/smt-lib-reference-v2.6-r2017-07-18.pdf 的第 3.6 节其中讨论了排序良好的要求。所以 CVC4 理所当然地拒绝了你的程序。

但是你是对的，这在实践中相当烦人。典型的解决方案是简单地在您感兴趣的类型上一劳永逸地定义所需的常量:

(define-fun nilTy () (List Ty) (as nil (List Ty)))

由于所有程序只能引用有限数量的排序，因此这始终是可能的。 (而且在实践中，无论如何，很少有超过几种不同类型的存在；所以这不是一个很大的负担。这有时被称为“单态化”。)

一旦你做了上面的定义，那么你只需使用它而不是 nil在适当的上下文中:

(define-fun-rec func ((x (List Ty) ) (y (List Ty)))     (List Ty)
        (match  x   ( ((cons xt xts) ( cons xt (func xts y)) )
                      ( nil nilTy)
                    )
        )
)

你会发现 CVC4 可以毫不费力地接受它，因为它现在确切地知道是哪一种 nilTy应该用在。

请记住，SMTLib 通常不是手写的，而是机器生成的。因此，上面的笨拙通常并不适用，因为前端工具可以实现更高级的类型系统并在引擎盖下吐出所需的 SMTLib。希望有帮助!