julia - 线性规划 : Find all optimal vertices

Question

我想知道是否有一种很好的方法(最好使用 JuMP)来获得线性程序的所有最优解(以防有多个最优解)。

一个例子

最小化两个概率分布之间的统计距离(Kolmogorov 距离)。

min sum_{i=1}^{4} |P[i] - Q[i]| over free variable Q
P = [0.25,0.25,0.25,0.25]
sum_i P[i] = 1
Q[1] + Q[4] = 1
sum_i Q[i] = 1 -> Q[2],Q[3] = 0

请注意，我们可以将优化表述为线性程序，目标变为

min S >= sum_i S[i]
S[i] >= P[i]-Q[i]
S[i] >= Q[i]-P[i]

这个问题没有唯一解，而是最优解的子空间由

Q1 = [0.75,0,0,0.25]
Q2 = [0.25,0,0,0.75]

两者的最小距离均为 0.5，
这两个解决方案的任何凸组合都是最佳的。

我想知道是否有一种很好的方法可以找到所有这些最佳极值点(跨越最佳子空间的点)？

我为什么对这个感兴趣；给出最大值 Bhattacharyya coefficient 的点(凹函数)，位于静态距离的最优子空间中间的某处。

到目前为止，我已经尝试通过使算法有利于最小化 P[i],Q[i] 之间的距离来找到最佳 P,Q 对(引用我给出的示例)，方法是在和。它似乎在某种程度上有效，尽管我很难确定。

Answer 1

LP 求解器并非旨在枚举所有最优解。一旦知道最优目标值，就可以定义包含所有最优解的多面体，然后使用顶点枚举算法来收集该多面体可能非常大的一组极值点。所有的最优解都是这些极值点的凸组合。来自 Julia，您可以使用 wrapper为 cdd .