recursion - Prolog 二进制加法

Question

我需要在prolog中实现二进制加法，其中二进制数表示如下:

0:  bot
1 : o(bot)
2 -> 10:  z(o(bot))
3 -> 11:  o(o(bot))
10 -> 1010:  z(o(z(o(bot))))

我写过这个:

add(X,bot,X):-!.
add(bot,X,X):-!.

add(z(X),z(Y),Res):- add(X,Y,D), Res = z(D).
add(z(X),o(Y),Res):- add(X,Y,D), Res = o(D).
add(o(X),z(Y),Res):- add(X,Y,D), Res = o(D).
add(o(X),o(Y),Res):-addc(X,Y,D), Res = z(D).

addc(X,bot,Res):-add(X,o(bot),Res),!.
addc(bot,X,Res):-add(X,o(bot),Res),!.
addc(z(X),z(Y),Res):- add(X,Y,D),Res = o(D).
addc(z(X),o(Y),Res):-addc(X,Y,D),Res = z(D).
addc(o(X),z(Y),Res):-addc(X,Y,D),Res = z(D).
addc(o(X),o(Y),Res):-addc(X,Y,D),Res = o(D).

当前两个参数是具体的时，它起作用:

?-add(o(o(bot)),z(o(o(bot))),D).
D = o(z(z(o(bot))))

当前两个参数之一是变量时，它进入无限递归:

?-add(o(o(bot)),X,z(o(o(bot)))).
Stack limit (0.2Gb) exceeded
  Stack sizes: local: 0.1Gb, global: 34.9Mb, trail: 11.6Mb
  Stack depth: 1,524,958, last-call: 50%, Choice points: 762,476
  Possible non-terminating recursion:
    [1,524,958] add(bot, <compound s/1>, _1496)
    [1,524,957] add(bot, <compound s/1>, <compound z/1>)

我怎样才能使这项工作适用于任何一个非具体的论点？

Answer 1

(使用 bot 否则被认为是 zero 、 null 或 0 有点奇怪。格子在这里不是我们主要关注的问题。)

首先，我们试图理解为什么程序不会终止。这可能非常棘手，尤其是在存在 ! 的情况下。这是Prolog的不纯元素之一。它们在一定程度上是需要的，但在这种情况下，它们只是有害的，因为它们阻碍了我们的推理。所以代替前两个cutful子句，write1

add(bot, X, X).
add(X, bot, X) :- dif(X, bot).

接下来的两次剪辑也是如此。请注意，这两个子句现在是不相交的。在此之后，我们有一个纯单调程序，因此我们可以应用各种推理技术。在这种情况下，一个 failure-slice正是我们所需要的。为了更好地理解不终止的原因，我将添加目标 false 进入程序，因为有一个很好的特性我们可以利用:如果新程序不终止，那么旧程序也不会终止。通过这种方式，我们可以将问题缩小到原始程序的一小部分。经过几次尝试，我想出了以下失败片段:

add(bot,X,X) :- false.add(X,bot,X) :- false, dif(X,bot).add(z(X),z(Y),Res) :- false, add(X,Y,D), Res = z(D).add(z(X),o(Y),Res) :- false, add(X,Y,D), Res = o(D).add(o(X),z(Y),Res) :- false, add(X,Y,D), Res = o(D).add(o(X),o(Y),Res) :- addc(X,Y,D), false, Res = z(D).addc(bot,X,Res) :- add(X,o(bot),Res), false.addc(X,bot,Res) :- dif(X, bot), add(X,o(bot),Res), false.addc(z(X),z(Y),Res) :- false, add(X,Y,D), Res = o(D).addc(z(X),o(Y),Res) :- false, addc(X,Y,D), Res = z(D).addc(o(X),z(Y),Res) :- false, addc(X,Y,D), Res = z(D).addc(o(X),o(Y),Res) :- addc(X,Y,D), false, Res = o(D).?- add(o(o(bot)),X,z(o(o(bot)))).

Out of the ~2^23 possible failure slices, this appears to be a minimal one. That is, any further false makes the program terminate.

Let's look at it: Everywhere Res is either ignored or just passed further on. Therefore the third argument has no influence on termination whatsoever. But you can put all those Res = equations just after the :-. That's the earliest possible place.

add(bot,X,X).
add(X,bot,X):- dif(X,bot).
add(z(X),z(Y), z(D)) :- add(X,Y,D).
add(z(X),o(Y), o(D)) :- add(X,Y,D).
add(o(X),z(Y), o(D)) :- add(X,Y,D).
add(o(X),o(Y), z(D)) :- addc(X,Y,D).

addc(bot,X,Res):- add(X,o(bot),Res).
addc(X,bot,Res):- dif(X, bot), add(X,o(bot),Res).
addc(z(X),z(Y),o(D)):- add(X,Y,D).
addc(z(X),o(Y),z(D)):- addc(X,Y,D).
addc(o(X),z(Y),z(D)):- addc(X,Y,D).
addc(o(X),o(Y),o(D)):- addc(X,Y,D).

还有 cTI给出有利的终止条件:

% NTI summary:  Complete result is optimal.
add(A,B,C)terminates_if b(A),b(B);b(C).
    % optimal. loops found: [add(z(_),z(_),z(_)),add(o(bot),o(o(_)),z(z(_))),add(o(o(_)),o(bot),z(z(_)))]. NTI took    8ms,72i,30i
addc(A,B,C)terminates_if b(A),b(B);b(C).
    % optimal. loops found: [addc(z(z(_)),z(z(_)),o(z(_))),addc(bot,o(_),z(_)),addc(o(_),bot,z(_))]. NTI took    4ms,96i,96i

所以 add/3如果给出前两个参数或最后一个参数，则终止。所以你不需要第一个参数。相反，即使是更一般的查询也会终止:

?- add(X,Y,z(o(o(bot)))).
     X = bot, Y = z(o(o(bot)))
   ; X = z(o(o(bot))), Y = bot
   ; X = z(bot), Y = z(o(o(bot)))
   ; X = z(o(o(bot))), Y = z(bot)
   ; X = z(z(bot)), Y = z(o(o(bot)))
   ; X = z(z(o(bot))), Y = z(o(bot))
   ; X = z(z(z(bot))), Y = z(o(o(bot)))
   ; X = z(z(o(bot))), Y = z(o(z(bot)))
   ; X = z(o(bot)), Y = z(z(o(bot)))
   ; X = z(o(o(bot))), Y = z(z(bot))
   ; X = z(o(z(bot))), Y = z(z(o(bot)))
   ; X = z(o(o(bot))), Y = z(z(z(bot)))
   ; X = o(bot), Y = o(z(o(bot)))
   ; X = o(z(o(bot))), Y = o(bot)
   ; X = o(z(bot)), Y = o(z(o(bot)))
   ; X = o(z(o(bot))), Y = o(z(bot))
   ; X = o(z(z(bot))), Y = o(z(o(bot)))
   ; X = o(z(o(bot))), Y = o(z(z(bot)))
   ; X = Y, Y = o(o(bot))
   ; X = o(o(bot)), Y = o(o(z(bot)))
   ; X = o(o(z(bot))), Y = o(o(bot))
   ; X = Y, Y = o(o(z(bot)))
   ; false.

1 更好的是，使用 if_/3图书馆 reif为 SICStus和
SWI使这些条款尽可能确定。

add(A, B, C) :- if_(A = bot, B = C, ( B = bot, A = C ) ).