r - 给定R中的一般方程，如何绘制椭圆？

Question

椭圆一般方程:

a * x ^ 2 + b * y ^ 2 + c * x * y + d * x + e * y + f = 0

Answer 1

我们可以从parametric开始ellipse 的方程(以下来自维基百科)，我们需要5个参数:中心(xc, yc)或 (h,k)在另一种表示法中，轴长度 a, b以及 x 轴和长轴之间的角度 phi或 tau在另一种表示法中。

xc <- 1 # center x_c or h
yc <- 2 # y_c or k
a <- 5 # major axis length
b <- 2 # minor axis length
phi <- pi/3 # angle of major axis with x axis phi or tau

t <- seq(0, 2*pi, 0.01) 
x <- xc + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi)
y <- yc + a*cos(t)*cos(phi) + b*sin(t)*cos(phi)
plot(x,y,pch=19, col='blue')

现在，如果我们想从 cartesian conic 开始方程，这是一个两步过程。

转换 cartesian方程到 polar ( parametric ), 形式我们可以使用以下方程首先使用下图中的 5 个方程获得 5 个参数(取自 http://www.cs.cornell.edu/cv/OtherPdf/Ellipse.pdf ，详细数学可以在那里找到)。

使用获得的参数绘制椭圆，如上所示。

对于步骤 (1)，我们可以使用以下代码(当我们知道 A,B,C,D,E,F 时):

M0 <- matrix(c(F,D/2,E/2, D/2, A, B/2, E/2, B/2, C), nrow=3, byrow=TRUE)
M <- matrix(c(A,B/2,B/2,C), nrow=2)
lambda <- eigen(M)$values
abs(lambda - A)
abs(lambda - C) 

# assuming abs(lambda[1] - A) < abs(lambda[1] - C), if not, swap lambda[1] and lambda[2] in the following equations:

a <- sqrt(-det(M0)/(det(M)*lambda[1]))  
b <- sqrt(-det(M0)/(det(M)*lambda[2]))
xc <- (B*E-2*C*D)/(4*A*C-B^2)
yc <- (B*D-2*A*E)/(4*A*C-B^2)
phi <- pi/2 - atan((A-C)/B)*2

对于步骤 (2)，使用以下代码:

t <- seq(0, 2*pi, 0.01) 
x <- xc + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi)
y <- yc + a*cos(t)*cos(phi) + b*sin(t)*cos(phi)
plot(x,y,pch=19, col='blue')