math - 如何将圆上的坐标转换为方形上的坐标？

Question

我目前正在使用LBP2开发一款游戏，该游戏已经修改了 Controller 提供输入的方式。这个问题:
How can I convert coordinates on a square to coordinates on a circle?
我所做的事情对我有很大帮助，但是我确实有一个问题。我需要它们给出的逆函数。它们从正方形->圆形开始，我尝试在各处搜索如何将圆形映射到正方形。

上一个问题中给出的功能是:

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2)

yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2)

From Mapping a Square to a Circle

给我的问题是xCircle和yCircle ...如何找到xSquare和ySquare？

我已经尝试了所有我知道的代数，填写了两页笔记，试图让Wolfram alpha获得逆函数，但是这个问题超出了我的能力范围。

感谢您的关注。

Answer 1

x = ½ √( 2 + u² - v² + 2u√2 ) - ½ √( 2 + u² - v² - 2u√2 )
y = ½ √( 2 - u² + v² + 2v√2 ) - ½ √( 2 - u² + v² - 2v√2 )

关于符号的注释:我使用x = xSquare，y = ySquare，u = xCircle和v = yCircle;

即 (u，v)是圆盘坐标，而 (x，y)是方形坐标。



对于等式的C++实现，请转到
http://squircular.blogspot.com/2015/09/mapping-circle-to-square.html

参见 http://squircular.blogspot.com
有关更多示例图像。
另外，请参见 http://arxiv.org/abs/1509.06344的证明/推导

此映射是

u = x √( 1 - ½ y² )
v = y √( 1 - ½ x² )

P.S.映射不是唯一的。还有其他映射。下图说明了映射的非唯一性。