r - R中的QR分解和Cholesky分解

Question

我最近了解到如何使用 Choleski 分解计算 QR 分解的 R 矩阵。关系是:

R = Choleski-decomposition(A^TA)

例子:

> A=matrix(c(1,2,3,2,3,5,1,3,2), nrow=3)
> A
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    1
[2,]    2    3    3
[3,]    3    5    2

> AtA = t(A)%*%A
> AtA
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   14   23   13
[2,]   23   38   21
[3,]   13   21   14

现在计算 QR 和 Choleski 分解:

> chol(AtA)
         [,1]     [,2]       [,3]
[1,] 3.741657 6.147009  3.4743961
[2,] 0.000000 0.462910 -0.7715167
[3,] 0.000000 0.000000  1.1547005

> qr_A = qr(A)
> qr.R(qr_A)
          [,1]      [,2]       [,3]
[1,] -3.741657 -6.147009 -3.4743961
[2,]  0.000000  0.462910 -0.7715167
[3,]  0.000000  0.000000 -1.1547005

据观察，从 Choleski 和 QR 分解计算出的 R 矩阵的值并不相同。 chol(AtA) 的第一行和第三行对 qr.R(qr_A) 取反。这是为什么？我假设的关系不正确吗？

Answer 1

矩阵的 QR 分解不是唯一的!有 R=chol(AtA) 的 QR 分解，但也有其他的，qr 不一定给出那个。在你的例子中

qr.Q(qr_A)%*%qr.R(qr_A) 

和

(qr.Q(qr_A)%*%diag(c(-1,1,-1)))%*%chol(AtA)

都是 A 的有效 QR 分解。