python - 如何基于gram-matrix在python中从距离矩阵中找到点的坐标？

Question

我想研究一个公交车站优化问题。但是，我现在陷入了如何将距离矩阵转换为点的真实坐标的问题。

我浏览了很多资源，知道使用公式: M(i, j) = 0.5(D(1, j)^2 + D(i, 1)^2 - D(i, j)^2)* 解决问题enter link description here .我不擅长数学，我只是想实现它。

首先，我尝试了解数学原理，这是我的解决方案。 enter link description here .

然后，我想在下面的例子中使用 python 实现算法。这是我的矩阵，它代表每个公交车站的不同距离。我想把它转移到点的坐标上。



这是我的实现代码:

import csv
import numpy as np
import math

class csv_util():

    def generate_coordinate_point(self):
        '''transfer the distance matrix to the real coordinate points'''
        sqrt_result = 2*math.sqrt(2)

        matrix = np.array([[0,2,2,sqrt_result],[2,0,sqrt_result,2],[2,sqrt_result,0,2],[sqrt_result,2,2,0]])

        gram_matrix = self.calculate_gram_matrix(matrix)

        a, b = np.linalg.eig(gram_matrix)

        #b = b.astype(np.int16)
        a = a.astype(np.int16)


        eigen_vector = format(b)

        length = a.size
        tmp_matrix = np.zeros(length * length)
        random_point_matrix = tmp_matrix.reshape(length, length)

        for item1 in range(length):
            random_point_matrix[item1][item1] = a[item1]

        print("the eigen-value is: " + format(random_point_matrix))
        print("the eigen-vector is: " + eigen_vector)

        new_matrix = (np.sqrt(random_point_matrix))*b

        print("the coordinate points: "+format(new_matrix))



    def calculate_gram_matrix(self,matrix):
        '''get the gram matrix for transfer to the coordinate points'''

        length = matrix[0].size
        tmp_matrix = np.zeros(length*length)
        gram_matrix = tmp_matrix.reshape(length,length)

        for item1 in range(length):
            for item2 in range(length):
                gram_matrix[item1][item2] = (math.pow(matrix[0][item2],2)+math.pow(matrix[0][item1],2)-math.pow(matrix[item1][item2],2))/2
                if gram_matrix[item1][item2]<0.1 and gram_matrix[item1][item2]>-0.1:
                    gram_matrix[item1][item2] = 0

        return gram_matrix

但是，最终矩阵的结果不正确。结果是这样的:

the eigen-value is: [[12.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  4.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.]]
-------------
the eigen-vector is: [[ 0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  1.00000000e+00]
 [ 4.08248290e-01 -5.77350269e-01 -7.07106781e-01  0.00000000e+00]
 [ 4.08248290e-01 -5.77350269e-01  7.07106781e-01  0.00000000e+00]
 [ 8.16496581e-01  5.77350269e-01  1.57009246e-16  0.00000000e+00]]
-------------
the coordinate points: [[ 0.          0.          0.          0.        ]
 [ 0.         -0.         -0.          0.        ]
 [ 0.         -0.          1.41421356  0.        ]
 [ 0.          0.          0.          0.        ]]

最后的点是这样的:[0,0],[-0.0,-0.0],[-0.0,1.414421],[0.0,0.0]。他们不能对这个例子中的距离矩阵感到满意。请帮助我如何获得正确的积分。谢谢!

Answer 1

与距离矩阵相关的点积的 Gram 矩阵的构造及其进一步分解通常是一种很好的方法，它也允许您推断距离矩阵的坐标实现的维数。但是，如果在您的情况下实现是平面(二维)，那么我认为(可以说)更容易(并且可能更快)在几何上更接近它(同样，您应该确定距离矩阵是用于2D中的点):

import numpy as np
import math

def x_coord_of_point(D, j):
    return ( D[0,j]**2 + D[0,1]**2 - D[1,j]**2 ) / ( 2*D[0,1] )

def coords_of_point(D, j):
    x = x_coord_of_point(D, j)
    return np.array([x, math.sqrt( D[0,j]**2 - x**2 )])
    
def calculate_positions(D):
    (m, n) = D.shape
    P = np.zeros( (n, 2) )
    tr = ( min(min(D[2,0:2]), min(D[2,3:n])) / 2)**2
    P[1,0] = D[0,1]
    P[2,:] = coords_of_point(D, 2)
    for j in range(3,n):
        P[j,:] = coords_of_point(D, j) 
        if abs( np.dot(P[j,:] - P[2,:], P[j,:] - P[2,:]) - D[2,j]**2 ) > tr:
            P[j,1] = - P[j,1]
    return P 
    
sqrt_result = 2*math.sqrt(2)
D = np.array([[0, 2, 2, sqrt_result],
              [2, 0, sqrt_result, 2], 
              [2, sqrt_result, 0, 2], 
              [sqrt_result, 2, 2, 0]])

P = calculate_positions(D)
print(P)
     

您可能需要添加一些检查和改进以确保向量 P[1,:] 和 P[2,:] 未对齐，这相当于检查

abs( P[1,0]*P[2,1] - P[1,1]*P[2,0] ) < 0.0001 (or some more appropriate threshold)

如果是，只需执行一个 while 循环，直到找到第一个向量 P[j0, :]与 P[1,0] 不一致的.这个第一个向量的作用 P[j0,:]与初始向量未对齐 P[1,:]让您拥有一个有用的 if function vector(D)中的条款.我没有包括它以避免模糊代码的想法。