math - 给定一个轴的向量，如何找到其他两个轴的向量？

Question

这是一个数学问题，我不确定该怎么做。向量未与轴对齐，因此仅绕x，y或z旋转90度并不一定会给我其他轴。

Answer 1

我可以想到您可能要问的几种不同情况。

给定:预先存在的坐标系

在2D系统中，您的轴/基础始终是[1,0]和[0,1]-x和y轴。

在3D系统中，您的轴/基准始终是[1,0,0]，[0,1,0]和[0,0,1]-x，y和z。

给定: 任意基2D坐标系中的一个轴

如果一个轴位于任意基础的2D坐标系中，则另一个轴为正交向量。

要逆时针正交旋转 ，:

[x_new, y_new] = [ -y_old, x_old]

正交旋转矢量 顺时针:

[x_new, y_new] = [ y_old, -x_old]

总结一下:

Given: x-axis = [ a,  b]
Then:  y-axis = [-b,  a]

Given: y-axis = [ c,  d]
Then:  x-axis = [ d, -c]

给定: 任意基本3D坐标系中的两个轴

为此，找到叉积。

[a,b,c] x [d,e,f] = [ b*f - c*e, c*d - a*f, a*e - b*d ]

遵循以下三个准则:

(x轴)x(y轴)=(z轴)

(y轴)x(z轴)=(x轴)

(z轴)x(x轴)=(y轴)

给定: 任意基3D坐标系中的一个轴

没有足够的信息来找到解决此问题的唯一方法。这是因为，如果查看第二种情况(任意基2D坐标系中的一个轴)，则首先需要找到正交向量。但是，在3D空间中，单个轴有无限数量的可能正交向量!

但是，您可以找到一种可能的解决方案。

通过找到任何矢量 [d,e,f]来找到这些正交矢量中任意一个的一种方法，其中:

[a,b,c] = original axis
[d,e,f] = arbitrary orthogonal axis (cannot be [0,0,0])

a*d + b*e + c*f = 0

例如，如果您的原始轴为 [2,3,4]，则可以解决:

2 * d + 3 * e + 4 * f = 0

也就是说，满足此条件的 [d,e,f]的任何值都是令人满意的正交向量(只要它不是 [0,0,0]即可)。例如，可以选择 [3,-2,0]:

2 * 3 + 3 *-2 + 4 * 0 = 0
  6   +  -6   +   0   = 0

如您所见，一个有效的“公式”是 [d,e,f] = [b,-a,0] ...，但是还有许多其他公式也可以起作用。实际上，是无限的!

找到两个轴 [a,b,c]和 [d,e,f]后，您可以将 [a,b,c]和 [d,e,f]用作x和y轴(或针对您的特定问题而需要的任何轴)，将其减少到以前的情况(情况3)。

归一化

请注意，随着您不断进行点积和叉积，向量将开始变得越来越大。取决于您想要什么，这可能是不希望的。例如，您可能希望基向量(坐标轴)都具有相同的大小/长度。

要将任何矢量( [0,0,0]除外)转换为 单位矢量(长度为1的矢量，与原始矢量的方向相同):

r  = [a,b,c]   
v  = Sqrt(a^2 + b^2 + c^2)   <-- this is the length of the original vector
r' = [ a/v , b/v , c/v ]

其中 r'代表 r的单位向量-长度为1的向量，其指向与 r相同的方向。一个例子:

r  = [1,2,3]
v  = Sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = Sqrt(13) = 3.60555  <-- this is the length of the original vector
r' = [0.27735, 0.55470, 0.83205]

现在，例如，如果我想要一个与 r相同方向且长度为5的向量，我只需将 r' * 5乘以 [a' * 5, b' * 5, c' * 5]即可。