r - 如何将泊松回归的系数限制为 R 中的正数？

Question

假设以下情况:
我有一个变量 Y 的计数数据，我假设它是泊松分布的。我还有同一时间段内变量 X 的数据，每个观察值代表一个特定事件。我假设 Y 的值来自两个不同的影响，所以我将每个观察 Y_i 分成两个泊松分布的 Y_i1 和 Y_i2，但我仍然只有关于总 Y_i 的观察。我还假设事件(由 X 表示)对 Y_i1 有长期影响，并且我有参数 lambda_i2 的估计量。

所以我的回归公式是
fml=Y_i ~ b_1*X_i+....+b_n*X_(i-n+1) + offset(lambda_i2) -1 且 n>=24。
这意味着 X 的最后 24 个(或更多，因为长期效应)值以累加方式影响 Y_i1 的值，我没有截距(b_0=0)。

我制作了一个矩阵 m，其行代表 Y_i，它的所有 24 个(或更多)回归量用于 Y_i 的每个观察值和 lambda_i2 的相应估计量。

现在我用glm(fml, family=poisson(link="identity"), data=m)并针对不同的 n 值 (=24,48,36,...) 进行了尝试。

总是，一些系数收到负值，这在解释中没有意义。 (X所代表的事件只能对Y的值产生正向或无影响。)

这引出了我的问题:

如何在我的模型中使用约束 b_i >=0？

在我之前的研究中，我找到了函数 glmc()，但我不确定如何在此处包含我的约束。

作为替代方案，我还考虑过以贝叶斯方式分析该模型，但我还没有找到用于泊松分布的 glm() 的贝叶斯版本，以便我可以自己指定 b_i 的先验。 (然后我可以在之前包括积极性。)

你有什么想法吗？

这是我的数据和代码的摘录:

y=c(279,623, 1025, 1701, 1862, 2544, 2308, 2231, 2234, 2550, 2698, 2805, 3510, 3032, 2746, 2074, 1062,  513,  226,  116,   87,   79,  116, 335,  594, 1081, 1425, 1775, 2056, 2387, 2337, 2354, 2665, 2406, 2433, 2550, 2820, 3655, 4566, 2330, 1267,  531,  280,  148,   92,   89, 141,  458,  852, 1214)
X=c(0, 0, 0,  0,  0,  0, 0, 0,  0, 0,  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.88349136, 0.54951680, 0.13306912, 0.15321180, 0.00000000, 1.42569128, 0.55808054, 0.65486418, 0.27530564, 0.24813572, 0, 0, 2.09889028, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.18947898, 0.17347032, 0.94538886, 0.03334654, 0.05593732, 0.00000000, 0.99772264, 0.11121918, 0, 1.41673120, 0.27375384, 0, 0, 0, 0, 5.67487576, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.55642510, 0.98419866, 0.50992652)
lambda=c(253.5,  562.5, 1053.0, 1645.0, 2064.5, 2215.0, 2503.0, 2443.0, 2514.5, 2701.0, 2972.5, 3035.5, 3422.5, 3295.0, 2882.5, 2094.0, 1211.0,  579.5,  265.5,  155.0,  112.5,   82.5,  117.5,  306.0,  627.0, 1021.0, 1463.5, 1722.5, 2017.5, 2146.5, 2209.0, 2231.5, 2265.0, 2320.0, 2442.0, 2507.0, 2957.0, 3674.0, 3345.5, 2285.0, 1265.0,  555.5,  252.0,  145.5,   86.5,   90.5,  148.0,  362.0, 738.0, 1137.5)

regressors=function(n,x){
  m=length(x)-n+1;
  r=matrix(0,m,n);
  for (i in 0:(n-1)){ r[,(i+1)]=x[(n-i):(length(x)-i)]}
  return(r);
}
r=regressors(24,X);
reg=cbind(y,data.frame(r),lambda);
fml=as.formula(paste("y~", paste(colnames(reg)[2:25], collapse = "+"), "+offset(lambda)-1"));
g=glm(fml, poisson(link="identity"), data=reg); %this leads to negative coefficients
obj=function(b){-sum(dpois(y, r%*%b, log=TRUE))}
st=coef(lm(fml, data=reg));
opt=optim(st, obj); % this is where the error occurs

regressors() 是我编写的用于计算回归量的函数(它产生一个有 n 列和 50 行的矩阵 r，每行 i 代表 y_i 的回归量)。

Answer 1

尝试首要原则。

# generate random input data
set.seed(123)
n <- 100
x <- 1:n
X <- cbind(1, x)
b <- c(0.1, 3)
y <- rpois(n, X %*% b)

# log likelihood objective function
obj <- function(b) -sum(dpois(y, X %*% b, log = TRUE))

# as a check try with no constraints - these two should give the same coefs
glm(y ~ X + 0, family = poisson("identity"))
st <- coef(lm(y ~ X + 0)); optim(st, obj)

# now add lower bounds ensuring starting value is in feasible region
optim(pmax(st, 1), obj, lower = c(0, 0), method = "L-BFGS-B")

注意 1:如果您的参数估计值位于上述约束示例中的可行区域边界上，请小心。

注意 2: 这里是对后来添加到问题中的代码的修改。 y、X、lambda 和 regressors 与问题相同。请注意，添加约束会强制许多系数为零。

r <- regressors(24,X)
reg <- cbind(y,data.frame(r),lambda)

fml <- y ~ . - lambda + offset(lambda)

# check that g and opt give the same coefs

g <- glm(fml, poisson(link = "identity"), data = reg)

obj <- function(b)-sum(dpois(y, r%*%b + lambda, log = TRUE))
st <- coef(lm(fml, data=reg))
opt <- optim(st, obj, method = "BFGS", control = list(maxit = 500))

optim(pmax(coef(g), 1), obj, method = "L-BFGS-B", lower = 0 * st)