wolfram-mathematica - 无法从 {2,3,4,5,6,7,8} 获得的最小整数(Mathematica)

Question

我正在尝试使用 Mathematica 解决以下问题:

从集合 {2,3,4,5,6,7,8} 中无法获得的最小正整数是多少？通过算术运算 {+,-,*,/} 、求幂和括号。集合中的每个数字必须恰好使用一次。不允许一元运算(例如，1 不能在不使用 0 的情况下转换为 -1)。

例如，号码 1073741824000000000000000可通过 (((3+2)*(5+4))/6)^(8+7) 获得.

我是 Mathematica 的初学者。我已经编写了我认为可以解决集合 {2,3,4,5,6,7} 问题的代码(我得到了 2249 作为我的答案)，但是我的代码效率不够高，无法使用集合 {2,3,4,5,6,7,8} . (我的代码在 {2,3,4,5,6,7} 上运行已经需要 71 秒)

我非常感谢任何使用 Mathematica 解决这个更难问题的技巧或解决方案，或者关于如何加速现有代码的一般见解。

我现有的代码使用蛮力递归方法:

(* 这将一组 1 个数字的组合定义为该 1 个数字的集合 *)

combinations[list_ /; Length[list] == 1] := list

(* 这测试是否可以对两个数字取幂，包括(有点)任意限制以防止溢出 *)

oktoexponent[number1_, number2_] :=

 If[number1 == 0, number2 >= 0,
  If[number1 < 0,
   (-number1)^number2 < 10000 \[And] IntegerQ[number2],
   number1^number2 < 10000 \[And] IntegerQ[number2]]]

(* 这需要一个列表并删除分母大于 100000 的分数 *)

cleanup[list_] := Select[list, Denominator[#] < 100000 &]

(* 这定义了一组 2 个数字的组合 - 并返回一组通过 + - * 应用获得的所有可能数字/由 oktoexponent 和清理规则过滤 *)

combinations[list_ /; Length[list] == 2 && Depth[list] == 2] :=
  cleanup[DeleteCases[#, Null] &@DeleteDuplicates@
    {list[[1]] + list[[2]],
     list[[1]] - list[[2]],
     list[[2]] - list[[1]],
     list[[1]]*list[[2]],
     If[oktoexponent[list[[1]], list[[2]]], list[[1]]^list[[2]],],
     If[oktoexponent[list[[2]], list[[1]]], list[[2]]^list[[1]],],
     If[list[[2]] != 0, list[[1]]/list[[2]],],
     If[list[[1]] != 0, list[[2]]/list[[1]],]}]

(* 这扩展了组合以使用集合 *)

combinations[
  list_ /; Length[list] == 2 && Depth[list] == 3] := 
 Module[{m, n, list1, list2},
  list1 = list[[1]];
  list2 = list[[2]];
  m = Length[list1]; n = Length[list2];
  cleanup[
   DeleteDuplicates@
    Flatten@Table[
      combinations[{list1[[i]], list2[[j]]}], {i, m}, {j, n}]]]

(* 对于给定的集合，partition 将所有分区的集合返回为两个非空子集 *)

partition[list_] := Module[{subsets},
  subsets = Select[Subsets[list], # != {} && # != list &]; 
  DeleteDuplicates@
   Table[Sort@{subsets[[i]], Complement[list, subsets[[i]]]}, {i, 
     Length[subsets]}]]

(* 这最终扩展了组合以使用任何大小的集合 *)

combinations[list_ /; Length[list] > 2] := 
 Module[{partitions, k},
  partitions = partition[list];
  k = Length[partitions]; 
  cleanup[Sort@
    DeleteDuplicates@
     Flatten@(combinations /@ 
        Table[{combinations[partitions[[i]][[1]]], 
          combinations[partitions[[i]][[2]]]}, {i, k}])]]

Timing[desiredset = combinations[{2, 3, 4, 5, 6, 7}];]

{71.5454, Null}

Complement[
   Range[1, 3000], #] &@(Cases[#, x_Integer /; x > 0 && x <= 3000] &@
   desiredset)

{2249, 2258, 2327, 2509, 2517, 2654, 2789, 2817, 2841, 2857, 2990, 2998}

Answer 1

这无济于事，但我今天无用的胡言乱语已超出我的配额:

(* it turns out the symbolizing + * is not that useful after all *) 
f[x_,y_] = x+y 
fm[x_,y_] = x-y 
g[x_,y_] = x*y 
gd[x_,y_] = x/y 

(* power properties *) 
h[h[a_,b_],c_] = h[a,b*c] 
h[a_/b_,n_] = h[a,n]/h[b,n] 
h[1,n_] = 1 

(* expand simple powers only! *) 
(* does this make things worse? *) 
h[a_,2] = a*a 
h[a_,3] = a*a*a 

(* all symbols for two numbers *) 
allsyms[x_,y_] := allsyms[x,y] =  
 DeleteDuplicates[Flatten[{f[x,y], fm[x,y], fm[y,x],  
 g[x,y], gd[x,y], gd[y,x], h[x,y], h[y,x]}]] 

allsymops[s_,t_] := allsymops[s,t] =  
 DeleteDuplicates[Flatten[Outer[allsyms[#1,#2]&,s,t]]] 

Clear[reach]; 
reach[{}] = {} 
reach[{n_}] := reach[n] = {n} 
reach[s_] := reach[s] = DeleteDuplicates[Flatten[ 
 Table[allsymops[reach[i],reach[Complement[s,i]]],  
  {i,Complement[Subsets[s],{ {},s}]}]]] 

这里的一般想法是避免计算幂(这是
昂贵且不可交换)，同时使用
加法/乘法的交换性/结合性以减少
到达基数[]。

上面的代码也可以在:

https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/playground.m#L20

以及数千兆字节的其他无用代码、数据和幽默。