modelica - 如何找到振荡器的共振频率？

Question

我目前正在尝试使用 OpenModelica 模拟声学谐振器，我想知道如何稳健/很好地计算它们的谐振频率。

作为一个简化的例子(没有媒体等)，我实现了一个双亥姆霍兹谐振器，本质上是由管道(惯性)连接的两个体积(合规性)。真正的系统由连接在一起的更多组件组成。
压力和体积流量(均为复数值)的振荡遵循正弦表达式，具有共振角频率 w .这产生了 4 个压力和 4 个体积流量的 8 个方程(在端点和柔量-惯性连接点)。

这是我每晚在 OpenModelica 中解决的 Modelica 代码:

model Helmholtz_test "Simple test of double Helmholtz resonator"
  constant Complex j = Modelica.ComplexMath.j;
  ComplexU U_a, U_b, U_c, U_d "Oscillating volume flow rate";
  ComplexPressure p_a, p_b, p_c, p_d "Oscillating pressure";
  Modelica.SIunits.AngularFrequency w(start=2000, fixed=false);
  Compliance C = 7.14e-9;
  Inertance L = 80;
initial equation
  p_a.re = 1e+2; //Simulation finishes, values reasonable, only during initialisation we get:
  //Matrix singular!
  //under-determined linear system not solvable!
  //The initialization finished successfully without homotopy method.
equation
//BCs on ends
  U_a = Complex(0);
  U_d = Complex(0);
//Left compliance a-b;
  p_a = p_b;
  p_a = -1 / (j * w * C) * (U_b - U_a);
//Inertance b-c
  U_b = U_c;
  p_c - p_b = -j * w * L * U_b;
//Right compliance c-d
  p_c = p_d;
  p_c = -1 / (j * w * C) * (U_d - U_c);
//Additional condition for Eigenvalue
  der(w) = 0;
//w^2 = 2/(L*C); //The "real" resonance frequency
  annotation(
    experiment(StartTime = 0, StopTime = 1, Tolerance = 1e-06, Interval = 0.002));
end Helmholtz_test;

附加定义

operator record ComplexPressure =
  Complex(redeclare Modelica.SIunits.Pressure re,
           redeclare Modelica.SIunits.Pressure im)
  "Complex pressure";

operator record ComplexU = 
  Complex(redeclare Modelica.SIunits.VolumeFlowRate re,
           redeclare Modelica.SIunits.VolumeFlowRate im)
  "Complex volume flow rate";

type Compliance = Real(final quantity = "Compliance", final unit = "m3.Pa-1");

type Inertance = Real(final quantity="Inertance", final unit="kg.m-4");

在纸上计算，得出的共振角频率为 w=\sqrt{\frac{2}{LC}} (在本例中为 ~1871 1/s)使系统具有非零解。

为了避免求解器去到无趣的零解决方案，我必须在某一点添加一些刺激，因此初始方程 p_a.re = 1e+2 .

现在，为了模拟这一点，因为 w是一个额外的变量，我需要引入一个 附加方程，选择 der(w) = 0; 因为在这种情况下谐振频率是恒定的。
不幸的是，这使得无法进入更复杂/现实的情况，其中谐振频率随时间变化，例如与温度或其他变化的值。

Q1:有没有更好的方法来提供共振频率的附加方程/计算系统的这个特征值？

此外，模拟的成功取决于初始刺激的值(在某些范围内这会失败，或者我在每个时间步都得到奇异方程)。此外，实际上问题正在初始化阶段得到解决。在最好的情况下，我得到输出

Simulation finishes, values reasonable, only during initialisation we get:
Matrix singular!
under-determined linear system not solvable!
The initialization finished successfully without homotopy method.

Q2:有没有办法避免奇点和/或干净地处理这种初始化(例如使用 homotopy )？
虽然这在简化的示例中足够有效(并导致 w 的正确值)，但我担心对于更复杂/更现实的模型，我可能会遇到更多有问题的数字困难。
我查看了 homotopy ，但我真的不知道如何在这里应用它。我想将此应用于 w不知何故，但弗里茨森的书甚至似乎明确警告不要在派生表达式上使用它，除此之外只有 w.start值(value)似乎出现了。

Answer 1

什么是类(class)ComplexU , ComplexPressure , Compliance和 Inertance ?我尝试运行您的模型，但这些似乎是您正在使用的另一个库的一部分。我用 MSL 或原始类型替换了它们。

此外，我真的不明白该模型应该如何工作，您只定义了一个 initial equation块，没有实际的方程。我尝试了以下模型:

model Helmholtz_test "Simple test of double Helmholtz resonator"
  constant Complex j = Modelica.ComplexMath.j;
  Complex U_a, U_b, U_c, U_d "Oscillating volume flow rate";
  Complex p_a, p_b, p_c, p_d "Oscillating pressure";
  parameter Modelica.SIunits.AngularFrequency w(start=2000, fixed=false);
  Modelica.SIunits.AngularFrequency real_w; //The "real" resonance frequency
  Real C = 7.14e-9;
  Real L = 80;
initial equation
  p_a.re = 1e+2;
equation
  U_a = Complex(0);
  U_d = Complex(0);
  p_a = p_b;
  p_a = -1 / (j * w * C) * (U_b - U_a);
  U_b = U_c;
  p_c - p_b = -j * w * L * U_b;
  p_c = p_d;
  p_c = -1 / (j * w * C) * (U_d - U_c);
  real_w = abs(sqrt(2/(L*C))); //The "real" resonance frequency
end Helmholtz_test;

我这是你想要的？

您可以比较 w与 real_w .一种是通过求解系统来计算的，一种是通过方程来计算的。

正如您所看到的，标准求解器很挣扎，但总枢轴求解器设法解决了系统问题。它收敛到另一侧( p_d.re = -1e+2; )所以这可能是正确的值吗？

编辑:
我将模型更改为正确的模型，我摆弄了初始方程，现在一切正常!主求解器仍然失败，但总支点找到了解决方案。