python - 如何在 statsmodels 中使用 gamma GLM 的尺度和形状参数

Question

任务
我有看起来像这样的数据:

我想使用 statsmodels 将一个广义线性模型 (glm) 拟合到 Gamma 族中。 .使用这个模型，对于我的每个观察，我想计算观察到小于(或等于)该值的值的概率。换句话说，我想计算:

P(y <= y_i | x_i)

我的问题

如何从 statsmodels 中拟合的 glm 中获取形状和比例参数?根据 this question statsmodels 中的 scale 参数不是以正常方式参数化的。我可以将它直接用作 scipy 中 Gamma 分布的输入吗？ ?还是我需要先转型？

我如何使用这些参数(形状和比例)来获得概率？目前我正在使用 scipy为每个 x_i 生成一个分布并从中得到概率。请参阅下面的实现。

我当前的实现

import scipy.stats as stat
import patsy
import statsmodels.api as sm

# Generate data in correct form
y, X = patsy.dmatrices('y ~ x', data=myData, return_type='dataframe')

# Fit model with gamma family and log link
mod = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Gamma(sm.families.links.log())).fit()

# Predict mean
myData['mu'] = mod.predict(exog=X) 

# Predict probabilities (note that for a gamma distribution mean = shape * scale)
probabilities = np.array(
    [stat.gamma(m_i/mod.scale, scale=mod.scale).cdf(y_i) for m_i, y_i in zip(myData['mu'], myData['y'])]
)

但是，当我执行此过程时，我得到以下结果:

目前预测的概率似乎都很高。图中的红线是预测均值。但即使对于这条线以下的点，预测的累积概率也约为 80%。这让我怀疑我使用的比例参数是否确实是正确的。

Answer 1

在 R 中，您可以使用 1/dispersion 获得形状的估计值(检查此 post)。不幸的是，statsmodels 中分散估计的命名是 scale .所以你确实采取了倒数来获得形状估计。我用下面的例子来展示它:

values = gamma.rvs(2,scale=5,size=500)
fit = sm.GLM(values, np.repeat(1,500), family=sm.families.Gamma(sm.families.links.log())).fit()

这是一个仅截距模型，我们检查截距和离散度(命名比例):

[fit.params,fit.scale]
[array([2.27875973]), 0.563667465203953]

所以平均值是 exp(2.2599) = 9.582131如果我们使用形状作为 1/dispersion ， shape = 1/0.563667465203953 = 1.774096这是我们模拟的。
如果我使用模拟数据集，它工作得很好。这是它的样子，形状为 10:

from scipy.stats import gamma
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import patsy
import statsmodels.api as sm
import pandas as pd

_shape = 10
myData = pd.DataFrame({'x':np.random.uniform(0,10,size=500)})
myData['y'] = gamma.rvs(_shape,scale=np.exp(-myData['x']/3 + 0.5)/_shape,size=500)

myData.plot("x","y",kind="scatter")

然后我们像你一样拟合模型:

y, X = patsy.dmatrices('y ~ x', data=myData, return_type='dataframe')
mod = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Gamma(sm.families.links.log())).fit()
mu = mod.predict(exog=X) 

shape_from_model = 1/mod.scale

probabilities = [gamma(shape_from_model, scale=m_i/shape_from_model).cdf(y_i) for m_i, y_i in zip(mu,myData['y'])]

和情节:

fig, ax = plt.subplots()
im = ax.scatter(myData["x"],myData["y"],c=probabilities)
im = ax.scatter(myData['x'],mu,c="r",s=1)
fig.colorbar(im, ax=ax)