math - 平滑地连接两个贝塞尔曲线(C2连续)

Question

(对this question的跟进。)

给定一系列三次贝塞尔曲线，如何最小化它们以使其以C2连续的方式连接？

输入:

带有控制点P0，P1，P2，P3 的

曲线P
带有控制点Q0，Q1，Q2，Q3

的

曲线Q

如果有帮助，您可以假定它们已经是C1连续的了。

限制条件:

C0连续性:P3 = Q0

C1连续性:P2 - P3 = Q0 - Q1

C2连续性:P1 - 2*P2 + P3 = Q0 - 2*Q1 + Q2

修改的曲线尽可能接近原始曲线P和Q

Answer 1

使修改后的曲线尽可能接近原始曲线可能有多种解释，但可以考虑使端点和切线远离连接点的常数保持不变。因此，点P0，P1，P3 = Q0，Q2和Q3是恒定的。

我们可以更改原点，以便可以将强制C2连续性的P3 = Q0 = 0表示为:

P1 - 2*P2 = 2*Q1 + Q2

一个人可以用复杂的表示形式表达 P2=a*e^i*r和 Q1=b*e^i*r(保持相同的角度可以增强C2的连续性。

(P1 - Q2)/2 = c*e^i*s

强制执行C2连续性应该选择 r=s，并找到 a和 b的组合，例如 a+b =c。有无数种解决方案，但是可以使用启发式方法，例如，如果 a最小，则更改它(从而产生不那么明智的更改)。

如果变化不够小，请尝试两步优化:首先更改 P1和 Q2以使 s更接近 r，然后应用上述步骤。