math - 从两个3D向量定义的旋转中计算3x3旋转矩阵的有效方法

Question

虽然我找到了两种解决方案，但我很好奇是否有众所周知的方法来执行此操作，因为这似乎是一项很常见的任务。
这是psudo-code的2种明显方法...
轴角
这是很合逻辑的，但是调用了sin两次，并且调用了cos一次(在角度计算和轴到矩阵的角度转换中)。

Matrix3x3 rotation_between_vectors_to_matrix(const Vector v1, const Vector v2)
{
    angle = v1.angle(v2);
    axis  = v1.cross(v2);

    /* maths for this is well known */
    Matrix3x3 matrix = axis_angle_to_matrix(axis, angle);

    return matrix;
}

编辑:最简单的功能相当慢，但是正如此处答复中所指出的:可以通过分别从轴长和 angle_sin点积获得 angle_cos和 v1,v2来避免计算角度。
两种矩阵之间的差异
这是我发现的另一种方法，该方法从向量构造两个3x3矩阵并返回差值。
但是，这比可以优化的轴/角度计算要慢(如上所述)。
笔记。假设两个向量均已归一化，矩阵为列大(OpenGL)。

Matrix3x3 rotation_between_vectors_to_matrix(const Vector v1, const Vector v2)
{
    Matrix3x3 m1, m2;

    axis = v1.cross(v2);
    axis.normalize();

    /* construct 2 matrices */
    m1[0] = v1;
    m2[0] = v2;

    m1[1] = axis;
    m2[1] = axis;

    m1[2] = m1[1].cross(m1[0]);
    m2[2] = m2[1].cross(m2[0]);

    /* calculate the difference between m1 and m2 */
    m1.transpose();

    Matrix3x3 matrix = m2 * m1;

    return matrix;
}

有更好的方法来执行此计算吗？
编辑:这个问题的目的不是对每种方法进行微优化和基准测试。相反-我很好奇是否有一些我不知道的完全不同和更好的方法。

注意:为了使示例简单起见，我故意不检查共线性矢量(轴为零长度)的简并情况。

Answer 1

您发布的两种方法都可以进行优化。
方法1
与其使用acos来找到两个向量之间的夹角，不如做一个更好的事情是完全避免找到夹角。如何？ Rodrigues的axis-angle formula只需要sin θ，cos θ和1 - cos θ，因此查找实际角度是多余的。
我们知道v1和v2是单位向量； v1 · v2 = |v1| |v2| cos θ，因为|v1| = |v2| = 1，v1 · v2直接给了我们cos θ，所以找到1 - cos θ并不昂贵。 v1 × v2 = |v1| |v2| sin θ n = sin θ n，其中n是垂直于v1和v2的单位向量，找到|v1 × v2|叉积的大小将直接给出sin θ。
现在我们有了sin θ和cos θ，我们可以使用Rodrigues forumla直接形成旋转矩阵。 here's a simple implementation(尽管页面声称使用四元数数学，但这是“轴角到矩阵”的转换公式)。
方法二
在将两个正交框架构造为矩阵之后，可以避免进行第二次转置。这是证明。
假设A和B是两个矩阵，因为您希望从A旋转到B，我们需要一些矩阵X，将其与A相乘将得到B:

XA = B

X = BA⁻¹

这就是您所需要的；当您将 X预乘以 A时，您会得到 B。但是，您发现的是 Y

Y = AB⁻¹

YB = A

然后您转置 Y以获得 Y⁻¹，即

Y⁻¹YB = Y⁻¹A

B = Y⁻¹A

无需进行两个逆运算(在此进行转置)，您可以执行上述方法，该方法仅涉及一个转置。
我仍然要说的是，如果没有以优化形式对方法进行基准测试，我们不能说方法2比方法1更快。因此，我真的敦促您在两种方法之间进行基准测试(带有一些非平凡的负载)，然后绘制结论。