image-processing - 找到四边形的第四个点。 (透视变换后)

Question

有一个正方形的图像，并且对该图像应用了透视变换。

所以正方形的透视图将不是正方形而是四边形。
问题:

如果我知道透视图像的三个角点(四边形)
那么四边形的第四个角点是什么？

问题也出现了，因为角点是在图像空间中给出的，
不在世界坐标系中。所以他们只有两个坐标，
例如:N1 = (x1, y1), N2 = (x2, y2), N3 = (x3, y3)

而且我需要使用在进行透视变换之前世界坐标中的真实图像是正方形的信息来找到 N4 = (x4, y4)。

是否有可能找到第 4 点？我认为这个问题不会只有一个解决方案，但我想知道我们有多少解决方案，我想得到这些解决方案。

我在这里读过几乎相同的问题，但是作者并没有说在转换之前是正方形。

Answer 1

一般来说，这是不可能的。您想通过使用点之间的三个对应关系的知识来确定原始正方形所在的平面与图像平面之间的单应性(透视变换)，但您需要四 点之间的对应关系，以便明确地确定平面单应性。

歧义示例:假设原始正方形的顶点位于齐次坐标 [0, 0, 1]、[1, 0, 1]、[1, 1, 1] 和 [0, 1, 1 ]。现在考虑由以下矩阵给出的两个单应性:

H1 = [1, -2, 0;
      0, -1, 0;
      0, -2, 1]

H2 = [-1, 2, 0;
       0, 1, 0;
      -2, 2, 1]

两种变换都使前三个顶点保持不变(请记住，当且仅当它们的向量相差非零比例因子时，投影空间中的两个点才相等)，但是它们将第四个顶点变换为不同的点。