wolfram-mathematica - 如何在 Mathematica 中获得实数的最佳近似分数

Question

如果我想获得给定实数和特定最大分母作为整数的最佳近似分数/有理数，如何在 Mathematica 中执行此操作？非常感谢。

Answer 1

Convergents的 continued fractions提供了一种有用的方法来获得越来越好的无理数分数表示。我还发现它们有助于通过 Euclidean algorithm 理解与其他想法的联系。 .

让我们使用收敛函数来近似圆周率和二的平方根。

ClearAll[approximate];

approximate[r_, nConvergents_: 8, precision_: 10] := 
   With[{c = Convergents[ContinuedFraction[r, nConvergents]]}, 
   TableForm[Transpose[{c, N[r - c, precision]}], 
   TableHeadings -> {None, {Row[{"approximation of ", r}], "error"}}]]

这是 pi 的前 8 个收敛点:

approximate[Pi]

这是 Sqrt[2] 的前 8 个收敛点:

approximate[Sqrt[2]]

随着收敛的推进，连续的误差项缩小并改变方向。

在 approximate 中，您可以选择指定所需的收敛数和精度。

享受吧。

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这是一些额外的 documentation关于连分数，包括一些可爱的演示。