math - 如何找到一个整数乘数以达到 10 的幂？

Question

我正在尝试创建一个精确的十进制数字类型。我将其存储为理性 p/q哪里q始终为 10 的幂。
现在，如果我尝试除以这些数字之一，我需要查看结果是否可以表示为有限十进制扩展。例如 10.2 / 80 => 0.1275没关系，但是 10 / 3 = 3.333...不行。
归结为看一个整数 q并询问:是否有整数 m使得:

q * m = 10 ^ n    (q, m, n are all integers)

我可以写一个循环来搜索它，测试 n=0,1,2,3,...？但是有没有更直接的方法呢？我不知道如何代数求解那个小方程。

Answer 1

首先要看q能否写成2s和5s的乘积；如果可以，将有 m 和 n 的整数解。否则，不会有。
我们可以找到整数 a、b 和 c，使得 q = (2^a)(5^b)c 并且 c 不能被 2 或 5 整除。只要 q 仍然可以被2、每次递增a；然后，除以 5 并增加 b，只要 q 仍然可以被 5 整除；那么，在这个重复除以 2 和 5 的过程之后，c 将是 q 的任何值。
此时，如果c = 1，我们就可以找到解；否则，没有整数 m 有效。假设 c = 1，检查 a 和 b:

如果 a = b，q 已经是 10 的幂；选择 m = 1

如果 a < b，选择 m = 2^(b-a)

如果 a > b，则选择 m = 5^(a-b)