quantum-computing - 量子 V 门 1/sqrt(5) ( I + 2iZ)

Question

根据定义，门 1/sqrt(5) (I + 2iZ) 应作用于量子位 a|0> + b|1> 以将其转换为 1/sqrt (5) ((1+2i)a|0> + (1-2i)b|1>) 但每个 RUS 步骤的转换执行以下操作 -ancillas 最初处于 |+> 状态

1. 起始形式:1/sqrt(2) (a,b,a,b,a,b,a,b)
2. CCNOT(辅助，输入):1/sqrt(2) (a,b,a,b,a,b,b,a)
3. S(输入):1/sqrt(2) (a,ib,a,ib,a,ib,b,ia)
4. CCNOT(辅助，输入):1/sqrt(2) (a,ib,a,ib,a,ib,ia,b)
5. Z(输入) : 1/sqrt(2) (a,-ib,a,-ib,a,-ib,ia,-b)

现在在 PauliX 基础上测量 ancillas 等同于将 H() 应用于状态后的 PauliZ 测量。现在我有 2 个困惑，我应该将 H x H x I 还是 H x H x H 应用于组合状态。此外，当两个测量均为零时，这些转换都不等同于第一段中定义的 V 门。我哪里出错了？

引用:https://github.com/microsoft/Quantum/blob/master/samples/diagnostics/unit-testing/RepeatUntilSuccessCircuits.qs (第一个示例代码)

Answer 1

转换是正确的，虽然需要花一些时间用笔和纸来验证。

作为旁注，我们从状态 |+>|+>(a|0> + b|1>) 开始，它是 0.5 (a,b,a ,b,a,b,a,b) 向量形式(|+> 状态对系数贡献 1/sqrt(2)) .它不会影响我们对测量后状态的计算，因为它必须重新归一化，但仍然值得注意。

在 CCNOT、S、CCNOT、Z 序列之后，我们得到 0.5 (a,-ib,a,-ib,a,-ib,ia,-b)。由于我们仅测量 PauliX 基础中的前两个量子位，因此我们需要仅将 Hadamards 应用于前两个量子位，或将 H x H x I 应用于组合状态。

在应用 Hadamards 并快进到测量结果后，我会冒昧地跳过写出整个表达式，这就是原因。如果两个测量结果均为 0，我们只对输入量子比特的状态感兴趣，因此仅收集具有 |00> 作为前两个量子比特状态的整体状态项就足够了.

在第一个量子位上测量 |00> 后第三个量子位的状态将是:(3+i)a |0> - (3i+1)b |1> ，乘以一些归一化系数c。c = 1/sqrt(|3+i|^2 + |3i+1|^2) = 1/sqrt(10))。

现在我们需要检查我们得到的状态，|S_actual> = 1/sqrt(10) ((3+i)a |0> - (3i+1)b |1>)与我们期望通过应用 V 门获得的状态相同，|S_expected> = 1/sqrt(5) ((1+2i)a |0> + (1-2i)b |1>)。它们看起来并不相同，但请记住，在量子计算中，状态被定义为直到全局阶段。因此，如果我们能找到一个绝对值为 1 的复数 p，其中 |S_actual> = p * |S_expected>，则状态实际上是相同的。

这转化为以下用于 p 和 |0> 和 |1> 振幅的方程式:(3+i )/sqrt(2) = p (1+2i) 和 -(3i+1)/sqrt(2) = p (1-2i)。我们求解这两个方程得到 p = (1-i)/sqrt(2)，它确实具有绝对值 1。

因此，我们可以得出结论，在所有转换之后我们得到的状态确实等同于我们通过应用 V 门得到的状态。