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我写了这个归纳谓词及其(强)规范的部分证明:
Inductive SumPairs : (nat*nat) -> list (nat*nat) -> Prop :=
| sp_base : SumPairs (0,0) nil
| sp_step : forall (l0:list (nat*nat)) (n0 n1: nat) (y:(nat*nat)), SumPairs (n0,n1) l0 -> SumPairs ((n0+(fst y)),(n1+(snd y))) (cons y l0).
Theorem sumPairs_correct : forall (l:list (nat*nat)), { n: nat | SumPairs (n,n) l }.
Proof.
...
问题是我不认为这个定理是正确的,因为 Coq 不接受类似
{n0 n1: nat | ...}
的东西.有没有办法解决这个问题,还是我想错了?
SumPairs
是正确的,但由于我不确定,这里有一个它应该如何工作的例子:输入
[(1,2),(3,4)]
, 预期输出
[3,7]
最佳答案
您可以在结果中放入一对,例如:
Inductive SumPairs : (nat*nat) -> list (nat*nat) -> Prop :=
| sp_base : SumPairs (0,0) nil
| sp_step : forall (l0:list (nat*nat)) (n0 n1: nat) (y:(nat*nat)), SumPairs (n0,n1) l0 -> SumPairs ((n0+(fst y)),(n1+(snd y))) (cons y l0).
Theorem sumPairs_correct : forall (l:list (nat*nat)), { p: nat * nat | SumPairs p l }.
Proof.
intros l.
induction l as [|p l [[x y] IH]].
- exists (0, 0); constructor.
- now exists (x + fst p, y + snd p); constructor.
Qed.
然而,对于这个特定的任务,实际上最好只使用一个普通的函数式程序:
Require Import Coq.Lists.List.
Definition sum_list l := fold_left Nat.add l 0.
Definition sum_pairs l := (sum_list (map fst l), sum_list (map snd l)).
这个定义比第一个版本更容易阅读、理解和修改。请注意,您仍然可以使用 Coq 来推理该函数:
Lemma sum_list_cat l1 l2 :
sum_pairs (l1 ++ l2) =
(fst (sum_pairs l1) + fst (sum_pairs l2),
snd (sum_pairs l1) + snd (sum_pairs l2)).
(* Exercise! *)
关于Coq:列表对的证明,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/67665495/
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