haskell - 如何以类型编码可能的状态转换？

Question

我试图在 Haskell 中复制这段 Idris 代码，它通过类型强制执行正确的操作顺序:

 data DoorState = DoorClosed | DoorOpen
 data DoorCmd : Type ->
                DoorState ->
 DoorState ->
                Type where
      Open : DoorCmd     () DoorClosed DoorOpen
      Close : DoorCmd    () DoorOpen   DoorClosed
      RingBell : DoorCmd () DoorClosed DoorClosed
      Pure : ty -> DoorCmd ty state state
      (>>=) : DoorCmd a state1 state2 ->
              (a -> DoorCmd b state2 state3) ->
              DoorCmd b state1 state3

感谢 (>>=) 的重载运算符，可以编写一元代码，例如:

do Ring 
   Open 
   Close

但编译器拒绝不正确的转换，例如:

do Ring
   Open 
   Ring
   Open

我试图在下面的 Haskell 片段中遵循这种模式:

 data DoorState = Closed | Opened

 data DoorCommand (begin :: DoorState) (end :: DoorState) a where
   Open  :: DoorCommand 'Closed 'Opened ()
   Close :: DoorCommand 'Opened 'Closed ()
   Ring  :: DoorCommand 'Closed 'Closed ()

   Pure  :: x -> DoorCommand b e x
   Bind  :: DoorCommand b e x -> (x -> DoorCommand e f y) -> DoorCommand b f y

 instance Functor (DoorCommand b e) where
   f `fmap` c = Bind c (\ x -> Pure (f x))

 -- instance Applicative (DoorCommand b e) where
 --    pure    = Pure
 --    f <*> x = Bind f (\ f' -> Bind x (\ x' -> Pure (f' x')))

 -- instance Monad (DoorCommand b e) where
 --   return = Pure
 --   (>>=) = Bind

但这当然失败了: Applicative和 Monad实例无法正确定义，因为它们需要两个不同的实例来正确排序操作。构造函数 Bind可用于强制执行正确的排序，但我无法设法使用“更好”的 do-notation。

我如何编写此代码才能使用 do-notation，例如防止 Command 的无效序列年代？

Answer 1

你要找的确实是Atkey的parameterised monad ，现在通常称为索引单子(monad)。

class IFunctor f where
    imap :: (a -> b) -> f i j a -> f i j b
class IFunctor m => IMonad m where
    ireturn :: a -> m i i a
    (>>>=) :: m i j a -> (a -> m j k b) -> m i k b

IMonad是类单子(monad)的东西 m :: k -> k -> * -> *描述通过属于类型 k 的类型的有向图的路径. >>>=绑定(bind)从 i 获取类型级状态的计算至 j进入一个从 j 获取的计算至 k ，从 i 返回更大的计算至 k . ireturn允许您将纯值提升为不改变类型级状态的单子(monad)计算。

我将使用索引的自由 monad 来捕获这种请求-响应操作的结构，主要是因为我不想弄清楚如何编写 IMonad我自己的类型的实例:

data IFree f i j a where
    IReturn :: a -> IFree f i i a
    IFree :: f i j (IFree f j k a) -> IFree f i k a

instance IFunctor f => IFunctor (IFree f) where
    imap f (IReturn x) = IReturn (f x)
    imap f (IFree ff) = IFree $ imap (imap f) ff
instance IFunctor f => IMonad (IFree f) where
    ireturn = IReturn
    IReturn x >>>= f = f x
    IFree ff >>>= f = IFree $ imap (>>>= f) ff

我们可以建立您的 Door monad 从以下仿函数中免费获得:

data DoorState = Opened | Closed
data DoorF i j next where
    Open :: next -> DoorF Closed Opened next
    Close :: next -> DoorF Opened Closed next
    Ring :: next -> DoorF Closed Closed next

instance IFunctor DoorF where
    imap f (Open x) = Open (f x)
    imap f (Close x) = Close (f x)
    imap f (Ring x) = Ring (f x)

type Door = IFree DoorF

open :: Door Closed Opened ()
open = IFree (Open (IReturn ()))
close :: Door Opened Closed ()
close = IFree (Close (IReturn ()))
ring :: Door Closed Closed ()
ring = IFree (Ring (IReturn ()))

您可以 open一扇门，这会导致当前关闭的门打开， close当前打开的门，或 ring门铃一直关着，大概是因为屋子里的人不想见你。

最后， RebindableSyntax语言扩展意味着我们可以替换标准 Monad类与我们自己的自定义 IMonad .

(>>=) = (>>>=)
m >> n = m >>>= const n
return = ireturn
fail = undefined

door :: Door Open Open ()
door = do
    close
    ring
    open

但是我注意到你并没有真正使用你的 monad 的绑定(bind)结构。没有你的积木 Open , Close或 Ring返回一个值。所以我认为你真正需要的是以下更简单的类型对齐列表类型:

data Path g i j where
    Nil :: Path g i i
    Cons :: g i j -> Path g j k -> Path g i k

在操作上， Path :: (k -> k -> *) -> k -> k -> *就像一个链表，但它有一些额外的类型级结构，再次描述了通过有向图的路径，其节点位于 k .列表的元素是边 g . Nil说你总能找到一个节点的路径 i对自己和 Cons提醒我们，千里之行始于一步:如果你有优势 i至 j以及来自 j 的路径至 k ，您可以将它们组合成一条来自 i 的路径至 k .它被称为类型对齐列表，因为一个元素的结束类型必须与下一个元素的起始类型匹配。

在 Curry-Howard Street 的另一边，如果 g是二元逻辑关系，则 Path g构造它的自反传递闭包。或者，明确地说， Path g是图的自由范畴中的态射类型 g .在自由类别中组合态射只是(翻转)附加类型对齐列表。

instance Category (Path g) where
    id = Nil
    xs . Nil = xs
    xs . Cons y ys = Cons y (xs . ys)

然后我们可以写 Door根据 Path :

data DoorAction i j where
    Open :: DoorAction Closed Opened
    Close :: DoorAction Opened Closed
    Ring :: DoorAction Closed Closed

type Door = Path DoorAction

open :: Door Closed Opened
open = Cons Open Nil
close :: Door Opened Closed
close = Cons Close Nil
ring :: Door Closed Closed
ring = Cons Ring Nil

door :: Door Open Open
door = open . ring . close

你没有得到 do表示法(尽管我认为 RebindableSyntax 确实允许您重载列表文字)，但是使用 (.) 构建计算看起来像纯函数的排序，我认为无论如何你都在做一个很好的类比。对我来说，使用索引单子(monad)需要额外的脑力——一种稀有而珍贵的自然资源。当更简单的结构可以做到时，最好避免单子(monad)的复杂性。