r - 如何用一个自由变量解决这个约束线性规划 (LP) 问题？

Question

我正在研究对预测进行排名的方法，并找到了这篇论文，A novel ranking procedure for forecasting approaches using Data Envelopment Analysis ，我一直在研究这篇文章并设置我的数据，但我似乎无法在 R 中复制他们的 LP 公式？
这是我所指的公式:LP Formulation
这是我正在尝试使用上述公式作为引用复制他们的结果的示例。数据基于上述文章中的“表 2. 示例数据的日志值”。

library(lpSolve)
library(nonparaeff)

DMU = c("FOR01", "FOR02", "FOR03", "FOR04", "FOR05")

log.data = matrix(data = as.numeric(c("1.794","1.575","3.576"
                                      ,"2.228","2.106","6.628"
                                      ,"2.399","1.871","6.354"
                                      ,"2.619","1.983","5.849"
                                      ,"2.559","1.541","5.676")), ncol = 3, byrow = TRUE)

colnames(log.data) = c("M1", "M2", "M3")
rownames(log.data) = DMU

THETA = c(-1,-1,-1,0)

add.to.one = c(1,1,1,1,1) # Constraint so each lambda adds up to one.

f.obj = c(1)

f.con = cbind(THETA, rbind(t(log.data), add.to.one))

f.dir = c("<=","<=","<=","=")

f.rhs = c(1.794,1.575,3.576,1)

lp2(direction = "min", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, free.var =  c(1))

我正在使用包 lpsolve 和 nonparaeff； nonparaeff 扩展了 lp()函数，因此它可以处理自由变量。
使用此代码我最终得到错误:

"Error: no feasible solution found".

然而，在文章中，他们最终将 theta 设为 0 或 1，第一个 lambda 返回为 1。所以我一定是做错了什么。
我是否正确应用了第四个约束('add.to.one')？另外， lp()已经假设每个变量 >= 为零，但它是否假设其他任何变量？
我是否正确地将公式转换为 R？我在使用 lp2功能正常吗？
我在这里查看了其他类似的 lp 问题，但我没有看到很多关于自由变量的问题。但是，如果您不这么认为，请将我链接到其他问题。
提前致谢。

Answer 1

lpSolve 使用起来有点麻烦。但是，使用称为变量拆分的技术来实现自由变量应该不会太困难。 IE。用 xplus-xmin 用 xplus,xmin>=0 替换自由变量 x。不是两者都可以是非零的(那么基矩阵将是奇异的)。
我认为这是正确的更新代码:

library(lpSolve)

DMU = c("FOR01", "FOR02", "FOR03", "FOR04", "FOR05")

log.data = matrix(data = as.numeric(c("1.794","1.575","3.576"
                                      ,"2.228","2.106","6.628"
                                      ,"2.399","1.871","6.354"
                                      ,"2.619","1.983","5.849"
                                      ,"2.559","1.541","5.676")), ncol = 3, byrow = TRUE)

colnames(log.data) = c("M1", "M2", "M3")
rownames(log.data) = DMU

theta = c(-1,-1,-1,0)

add.to.one = c(1,1,1,1,1) # Constraint so each lambda adds up to one.

f.obj = c(0,0,0,0,0,1,-1)

f.con = cbind(rbind(t(log.data), add.to.one),theta,-theta)

f.dir = c("<=","<=","<=","=")

f.rhs = c(1.794,1.575,3.576,1)

r <- lp(direction = "min", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)

最好使用功能更强大的工具，例如 CVXR。