python - SymPy 中是否有针对未计算积分的技巧和调整？

Question

我试图通过追溯它们的推导来验证一篇关于力学的论文中的一些公式，涉及到一些像这样的积分:

原始来源表明该解决方案是可能的，但似乎相当棘手。我尽力使用 SymPy(也使用 Maxima 和 Mathematica)摆弄不同的假设和简化，但没有成功:

import sympy as sp
from IPython.display import display, Math

x = sp.symbols('x', nonnegative=True, real=True, finite=True)
a = sp.symbols('a', positive=True, real=True, finite=True)
b = sp.symbols('b', positive=True, real=True, finite=True)
# print("assumptions for x:", x.assumptions0)
# print("assumptions for a, b:", r.assumptions0)

expr = x/(b + 2*(a-sp.sqrt(x)*sp.sqrt(2*a-x)))**3
expr = sp.expand(expr)
display(Math("e = "+sp.latex(expr)))

integ = sp.integrate(expr, (x, 0, a))
display(Math("integ = "+sp.latex(integ)))

SymPy 返回我未计算的积分。是否有任何其他技巧和调整我可以尝试获得解决方案？参数 a 和 b 是物理尺寸(有限正实数)。

Answer 1

使用 Rubi 找到的答案是

(a^2*(2*a + b)^4*(Sqrt[2*a - Sqrt[-4*a - b]*Sqrt[b]]*Sqrt[2*a + Sqrt[-4*a - b]*Sqrt[b]]*
    (Sqrt[b]*(-2*a + b)*Sqrt[-(4*a + b)^2] + 6*a*Sqrt[-4*a - b]*(2*a + b)*ArcTan[(2*a)/(Sqrt[b]*Sqrt[4*a + b])]) - 
   6*a*(2*a + b)^2*Sqrt[4*a + b]*ArcTanh[Sqrt[2*a - Sqrt[-4*a - b]*Sqrt[b]]/Sqrt[2*a + Sqrt[-4*a - b]*Sqrt[b]]] + 
   6*a*(2*a + b)^2*Sqrt[4*a + b]*ArcTanh[Sqrt[2*a + Sqrt[-4*a - b]*Sqrt[b]]/Sqrt[2*a - Sqrt[-4*a - b]*Sqrt[b]]]))/
 (2*(2*a - Sqrt[-4*a - b]*Sqrt[b])^(5/2)*(2*a + Sqrt[-4*a - b]*Sqrt[b])^(5/2)*Sqrt[-4*a - b]*b^(5/2)*(4*a + b)^(5