floating-point - 为什么代表 1.0 和 2.0 的位串如此不同？

Question

我最近开始使用 Julia 并发现了 bits 函数，它返回其数字参数的位字符串表示。例如:

julia> bits(1.0)
"0011111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000"

然而，在使用这个函数时，我惊讶地发现 bits 为 1.0 和 2.0 返回非常不同的位串:

julia> bits(1.0)
"0011111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000"

julia> bits(2.0)
"0100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

我原以为这两个值是相似的...

这些位的含义是什么？我依稀记得一些关于对指数进行编码的位(来 self 的数值分析课)，但我真的记不太清了，我没能记住在网上找到一个很好的描述...

Answer 1

要理解为什么 bits(1.0) 和 bits(2.0) 的 ASCIIString 值“如此不同”，您需要知道关于 IEEE-754 (binary) floating-point numbers 的一点(!) .每一个这样double-precision数字存储为 64 位字，分为三个部分:

• 符号位(非负数为0，非正数为1)，后跟
• biased exponent (11 位)，然后是
• 有效数(52 位)。

normalized number 的值(如1.0和2.0)可以通过以下公式得到:

(-1)^sign_bit x 1.significand x 2^(biased_exponent - bias)

(对于 double float ，偏差值为 2^10 - 1 = 1023)

现在，

• 1.0 = +1.000... x 2^(1023 - 偏差)

  而1023对应的是以2为底的(0)1111111111，所以对应的位串是

  0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000
  

• 2.0 = +1.000... x 2^(1024 - 偏差)

  而1024对应的是2进制的10000000000，所以对应的位串是

  0 10000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000
  

• 3.0 = +1.100... x 2^(1024 - 偏差)

  所以对应的位串是

  0 10000000000 1000000000000000000000000000000000000000000000000000
  

等等

综上所述，2.0的位串可以通过自增1.0的位串中的biased-exponent部分得到，也就是2的幂，减去1. 增加这样一个数字会导致其二进制表示的所有位发生变化，就像增加数字 9999(十进制表示)会导致所有数字发生变化一样。