linear-algebra - 稠密线性代数的应用

Question

密集线性代数在现实世界中的常见应用是什么？

使用线性代数作为人机之间的通用语言，可以轻松描述和高效计算许多问题。尽管这些系统通常需要稀疏矩阵的解，而不是稠密矩阵。违反此规则的常见应用有哪些？

我很好奇社区是否应该投入更多时间来改进像 LAPACK 这样的 DLA 包。谁在计算受限的应用程序中使用 LAPACK？谁使用 LAPACK 来解决需要并行处理的大型问题？

具体来说，今天由于密集线性代数能力不足而无法解决的问题有哪些。

Answer 1

这取决于您所说的现实世界。现实世界对我来说是物理学，所以我会先告诉你物理学中的那些，然后再扩展。在物理学中，我们经常需要找到称为哈密顿量的矩阵的特征值和特征向量(它基本上包含有关系统能量的信息)。这些矩阵可以是密集的，至少是 block 状的。这些 block 可能非常大。这引出了另一点:稀疏矩阵在 block 中可以是密集的，那么最好对每个 block 使用密集线性代数求解器。

还有一个叫做系统密度矩阵的东西。可以使用哈密顿量的特征向量找到它。在我使用的一种算法中，我们经常找到这些密度矩阵的特征向量/值，并且密度矩阵是密集的，至少在 block 中是这样。

密集线性代数也用于 Material 科学和流体动力学，如 this article 中所述.这也与量子化学有关，这是使用它们的另一个领域。

密集的线性代数例程也被用来解决 quantum scattering of charged particles (它在链接文章中没有这么说，但它被使用了)并分析了Cosmic Microwave Background .更广泛地说，它用于解决 array of electromagnetic problems与现实世界相关的事物，例如天线设计、医疗设备设计以及确定/减少飞机的雷达特征。

另一个非常现实的应用是曲线拟合。但是，除了使用范围更广的线性代数之外，还有其他方法可以做到这一点。

总而言之，密集线性代数用于各种应用，其中大部分与科学或工程相关。

附带说明一下，许多人以前和现在正在为密集的线性代数库投入大量精力，包括使用图形卡进行计算的库。