math - 推断用户群增长率线性+病毒

Question

假设您有 users 并且知道 n 增加了固定数量的用户 c 每天和病毒增长率 k 每天，其中 k 表示为 n 的百分比。

你怎么知道用户群增长到规模需要多少天 x ，其中 x > n？

这是一个复利问题，但我不知道如何通过添加常数因子c来解决。

Answer 1

假设你不介意小数用户...如果 k 表示为小数(所以 5% 的增长率是 k=1.05)，那么公式是:

days=log_k(((1-k) x - c) / ((1-k) n - c))

例如，假设您的初始用户群是 5；您每天不断增加 3 个用户，每天以病毒式增长 5%；你的目标是 35 个用户。然后

days=log_1.05(((-0.05)*35 - 3) / ((-0.05)*5 - 3)) = 7.78.

在 Excel 中运行该过程，您可以看到，确实，第 7 天为您提供了 31.5 个用户，第 8 天为您提供了 36 个用户。

推导:

将 d 天后的用户数表示为 n_d。然后:

n1 = kn + c

n2 = kn1 + c = k( kn + c) + c = k2n + (k + 1)c

n3 = kn2 + c = k( k2n + (k + 1)c) + c = k3n + (k2 + k + 1)c

...

nd = kdn + SUMi=0,d-1(kic)

现在，SUM 是一个几何级数。该几何级数的总和很容易推导出(或在维基百科上找到!)为 c(1 - kd)/(1 - k)。

所以:

nd = kdn + c(1 - kd)/(1 - k)

= kdn + c/(1 - k) - ckd/(1 - k)

= kd(n - c/(1 - k)) + c/(1 - k)

所以

kd = (nd - c/(1 - k))/(n - c/(1 - k))

= ((1 - k) nd - c)/((1 - k) n - c)

所以

d = logk(((1 - k) nd - c)/((1 - k) n - c))