julia - 在 julia 中有效地求解特定的线性系统

Question

我广泛使用 julia 的线性方程求解器 res = X\b .由于参数变化，我必须在我的程序中使用它数百万次。这工作正常，因为我使用的是小尺寸(最多 30 )。现在我想分析更大的系统，最大到 1000 ，线性求解器不再有效。

我认为可以有一个解决办法。但是我必须说，有时我的 X 矩阵是密集的，有时是稀疏的，所以我需要一些对这两种情况都可以正常工作的东西。
b vector 是一个全为零的向量，除了一个条目总是 1 (实际上它总是最后一个条目)。而且，我不需要所有 res向量，只是它的第一个条目。

Answer 1

通常当人们谈论加速线性求解器时 res = X \ b , 适用于多个 b s。但是由于您的 b没有改变，而你只是不断改变 X ，这些技巧都不适用。

从数学角度来看，加速这一过程的唯一方法似乎是确保 Julia 为 X \ b 选择最快的求解器。 ，即，如果您知道 X是正定的，使用 Cholesky 等。Matlab’s flowcharts关于它如何选择求解器用于 X \ b , 用于密集和稀疏 X , 可用——很可能 Julia 也实现了与这些流程图类似的东西，但同样，也许你可以找到一些方法来简化或缩短它。

所有与编程相关的加速(多线程——虽然每个单独的求解器可能已经是多线程的，但当每个求解器使用的线程少于内核数时，并行运行多个求解器可能是值得的； @simd 如果您愿意深入研究求解器本身；OpenCL/CUDA 库；等等)然后可以应用。