wolfram-mathematica - 在 Simplify 和 Expand 中使用替代特殊函数

Question

我有涉及特殊函数的 Mathematica 表达式 Erf[x]和 Erfc[x] ，但我想用缩放和翻译版本来表达它们

F[x_] := CDF[NormalDistribution[0,1]][x]

整个笔记本。这是因为 F[x]在我的问题的背景下有一个简单的解释。

Answer 1

不确定我是否理解你的问题，但我试图回答我对你所说的话的解释。

所以你在 erf 和 erfc 中有一个表达式，像这样

expr = Erf[x] + 1/Erfc[x] + Sin[Erf[x]] + Cos[Erfc[x]] 

用 F 替换 erf 和 erfc 所需要做的就是:

 expr //. {Erfc[x_] -> 2 F[-(x) Sqrt[2]], Erf[x_] -> 1 - Erfc[x]}

 (* ==>  1 + Cos[2 F[-Sqrt[2] x]] + 1/(2 F[-Sqrt[2] x]) -
         2 F[-Sqrt[2] x] + Sin[1 - 2 F[-Sqrt[2] x]]
 *)

这与您对 F[x] 的定义确实相同:

1 + Cos[2 F[-Sqrt[2] x]] + 1/(2 F[-Sqrt[2] x]) - 2 F[-Sqrt[2] x] + 
  Sin[1 - 2 F[-Sqrt[2] x]] /. F[x_] -> CDF[NormalDistribution[0, 1]][x]

(* ==> 1 + Cos[Erfc[x]] + 1/Erfc[x] - Erfc[x] + Sin[1 - Erfc[x]] *)