r - 用R求解非平方线性系统

Question

如何用R:A X = B解决一个非平方线性系统？

(在系统没有解决方案或无限多个解决方案的情况下)

例子 :

A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)

A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0    1   -2    3
[2,]    5   -3    1   -2
[3,]    5   -2   -1    1


B
     [,1]
[1,]  -17
[2,]   28
[3,]   11

Answer 1

如果矩阵A的行多于列，则应使用最小二乘拟合。

如果矩阵A的行少于列，则应执行奇异值分解。每种算法都尽力使用假设为您提供解决方案。

这是显示如何使用SVD作为求解器的链接:

http://www.ecse.rpi.edu/~qji/CV/svd_review.pdf

让我们将其应用于您的问题，看看它是否有效:

您的输入矩阵A和已知的RHS向量B:

> A=matrix(c(0,1,-2,3,5,-3,1,-2,5,-2,-1,1),3,4,T)
> B=matrix(c(-17,28,11),3,1,T)
> A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0    1   -2    3
[2,]    5   -3    1   -2
[3,]    5   -2   -1    1
> B
     [,1]
[1,]  -17
[2,]   28
[3,]   11

让我们分解您的 A矩阵:

> asvd = svd(A)
> asvd
$d
[1] 8.007081e+00 4.459446e+00 4.022656e-16

$u
           [,1]       [,2]       [,3]
[1,] -0.1295469 -0.8061540  0.5773503
[2,]  0.7629233  0.2908861  0.5773503
[3,]  0.6333764 -0.5152679 -0.5773503

$v
            [,1]       [,2]       [,3]
[1,]  0.87191556 -0.2515803 -0.1764323
[2,] -0.46022634 -0.1453716 -0.4694190
[3,]  0.04853711  0.5423235  0.6394484
[4,] -0.15999723 -0.7883272  0.5827720

> adiag = diag(1/asvd$d)
> adiag
          [,1]      [,2]        [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000 0.00000e+00
[2,] 0.0000000 0.2242431 0.00000e+00
[3,] 0.0000000 0.0000000 2.48592e+15

这是关键: d中的第三个特征值非常小；相反， adiag中的对角元素很大。在求解之前，将其设置为零:

> adiag[3,3] = 0
> adiag
          [,1]      [,2] [,3]
[1,] 0.1248895 0.0000000    0
[2,] 0.0000000 0.2242431    0
[3,] 0.0000000 0.0000000    0

现在，我们来计算解决方案(请参见上面我给您的链接中的幻灯片16):

> solution = asvd$v %*% adiag %*% t(asvd$u) %*% B
> solution
          [,1]
[1,]  2.411765
[2,] -2.282353
[3,]  2.152941
[4,] -3.470588

现在我们有了一个解决方案，让我们将其替换回去，看看它是否为我们提供了相同的 B:

> check = A %*% solution
> check
     [,1]
[1,]  -17
[2,]   28
[3,]   11

那是您开始使用的 B方面，所以我认为我们很好。

这是来自AMS的另一个很好的SVD讨论:

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-svd