math - 平面的 3D 旋转

Question

我正在做一些事情，我在坐标系统 A 中有一架飞机，上面已经有一组点。我在空间 N 中也有一个法线向量。如何旋转坐标 sys A 上的点，以便底层平面与 N 具有相同的法线方向？

想知道是否有人对如何做到这一点有一个好主意。谢谢

Answer 1

如果您有或可以轻松计算您的点当前所在平面的法线向量，我认为最简单的方法是围绕两个平面的公共(public)轴旋转。以下是我的做法:

让 M是当前平面的法线向量，N是要旋转到的平面的法线向量。如果 M == N您现在可以停止并保持原点不变。

计算旋转角度为

costheta = dot(M,N)/(norm(M)*norm(N))

计算旋转轴为

axis = unitcross(M, N)

在哪里 unitcross是一个执行叉积并将其归一化为单位向量的函数，即 unitcross(a, b) = cross(a, b) / norm(cross(a, b)) .如user1318499在评论中指出，如果 M == N，此步骤可能会导致错误, 除非您执行 unitcross返回 (0,0,0)当a == b .

从轴和角度计算旋转矩阵为

c = costheta
s = sqrt(1-c*c)
C = 1-c
rmat = matrix([ x*x*C+c    x*y*C-z*s  x*z*C+y*s ],
              [ y*x*C+z*s  y*y*C+c    y*z*C-x*s ]
              [ z*x*C-y*s  z*y*C+x*s  z*z*C+c   ])

在哪里 x , y , 和 z是 axis 的组成部分.此公式描述为 on Wikipedia .

对于每个点，计算其在新平面上的对应点为

newpoint = dot(rmat, point)

其中函数dot执行矩阵乘法。

当然，这不是唯一的。正如彼得克的回答中提到的那样，您可以进行无数次可能的旋转，这会将平面法线转换为 M进入垂直于 N 的平面.这对应的事实是，在您执行上述步骤之后，您可以围绕 N 旋转平面。 ，并且您的积分将在同一平面上的不同位置。 (换句话说，您可以进行的满足您的条件的每次旋转都对应于执行上述过程，然后围绕 N 进行另一次旋转。)但是，如果您不在乎您的点在平面上的哪个位置结束，我认为这是围绕公共(public)轴旋转是将点放入您想要的平面的最简单方法。

如果您没有 M ，但是您确实有起始平面中点相对于该平面原点的坐标，您可以从两个点的位置 x1 计算起始法线向量和 x2作为

M = cross(x1, x2)

(您也可以在这里使用 unitcross，但没有任何区别)。如果您有相对于不在平面内的原点的点坐标，您仍然可以这样做，但您需要三个点的位置:

M = cross(x3-x1, x3-x2)