我可以计算 double 引入的误差吗？

Question

假设我有一个无理数，例如 \sqrt{3}。由于它是无理数，因此没有小数表示。因此，当您尝试使用 IEEE 754 double 来表达它时，您将引入错误。

具有很多数字的十进制表示形式是:

1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558069794519330169088
  00037081146186757248575675...

现在，当我计算 \sqrt{3} 时，我得到 1.732051:

#include <stdio.h> // printf
#include <math.h>   // needed for sqrt

int main() {
    double myVar = sqrt (3);
    printf("as double:\t%f\n", myVar);
}

根据Wolfram|Alpha ，我的错误为 1.11100... × 10^-7。

有什么方法可以自己计算误差吗？

(我不介意切换到 C++、Python 或 Java。如果没有简单的替代方案，我可能也可以使用 Mathematica)

只是澄清一下:我不想要一个仅适用于 sqrt{3} 的解决方案。我想要一个函数，它可以给我任何数字的错误。如果不可能，我至少想知道 Wolfram|Alpha 如何获得更多值。

我的尝试

在写这个问题时，我发现了这个:

#include <stdio.h> // printf
#include <math.h>  // needed for sqrt
#include <float.h> // needed for higher precision

int main() {
    long double r = sqrtl(3.0L);
    printf("Precision: %d digits; %.*Lg\n",LDBL_DIG,LDBL_DIG,r);
}

有了这个，我可以根据Wolfram|Alpha将错误降低到2.0 * 10^-18 。所以我认为这可能足够接近，可以很好地估计误差。我写的是:

#include <stdio.h> // printf
#include <math.h>  // needed for sqrt
#include <float.h>

int main() {
    double myVar = sqrt (3);
    long double r = sqrtl(3.0L);
    long double error = abs(r-myVar) / r;
    printf("Double:\t\t%f\n", myVar);
    printf("Precision:\t%d digits; %.*Lg\n",LDBL_DIG,LDBL_DIG,r);
    printf("Error:\t\t%.*Lg\n", LDBL_DIG, error);
}

但它输出:

Double:     1.732051
Precision:  18 digits; 1.73205080756887729
Error:      0

如何修复该错误？

Answer 1

每个程序员都应该了解 Goldberg 的《浮点算术》，这就是您正在寻找的明确指南。

https://ece.uwaterloo.ca/~dwharder/NumericalAnalysis/02Numerics/Double/paper.pdf