linear-algebra - 用小 A 求解多个线性系统 Ax=b 的最有效方法(最小 3x3 最大 8x8)

Question

我需要解决数千次 Ax=b 类型的小型线性系统。这里A是一个不小于3x3、最大8x8的矩阵。我知道这个 http://www.johndcook.com/blog/2010/01/19/dont-invert-that-matrix/所以我不认为即使矩阵很小也反转矩阵是明智的吗？那么最有效的方法是什么？我正在用 Fortran 编程，所以我可能应该使用 lapack 库，对吗？我的矩阵是完整的，并且通常是非对称的。
谢谢
A.

Answer 1

警告:我没有深入研究这个问题，但我很乐意分享一些经验。

根据我的经验，解决 3x3 系统的最快方法基本上是使用 Cramer's rule .如果您需要使用相同的矩阵 A 求解多个系统，则需要预先计算 A 的逆。这仅适用于 2x2 和 3x3。

如果您必须使用相同的矩阵求解多个 4x4 系统，那么再次使用逆运算明显比 LU 的正向和反向替换快。我似乎记得它使用的操作更少，实际上差异更大(再次，以我的经验)。随着矩阵大小的增加，差异缩小，并且差异逐渐消失。如果您正在解决具有差分矩阵的系统，那么我认为计算逆矩阵没有优势。

在所有情况下，用逆求解系统可能比使用 LU 分解准确得多，因为 A 是相当病态的。因此，如果准确性是一个问题，那么 LU 分解绝对是要走的路。