geometry - 测试 Cube 是否在 Sphere 内 - 最快方法

Question

是否有比单独测试 8 个角是否在球体内更快的方法来检查轴对齐的立方体是否在球体内？

我正在穿过八叉树检查它的立方体叶子是否相交或封闭在球体内。我在这里找到了一个交叉点的方法:Cube sphere intersection test?

我希望找到一种更有效的方法来测试封装。我最终需要的是一个返回以下三种状态之一的测试:

外球

相交球体

内球

立方体由两个点定义，球体由其中心点和半径定义。

Answer 1

要确定立方体是否完全在球体内，您可以只测试一个顶点——距离球体中心最远的一个顶点。您可以通过比较立方体和球体的中心点来确定要测试的顶点。
例如，给定一个以 (cx,cy,cz) 为中心的立方体并且边半长为 l ，以及 (sx,sy,sz) 处的球体带半径 r ，测试点将是

tx = cx + ( cx > sx ? l : -l );
ty = cy + ( cy > sy ? l : -l );
tz = cz + ( cz > sz ? l : -l );

但是，针对球体测试立方体的角并不能捕获所有相交情况 - 考虑从 (-5,-5,-5) 到 (5,5,5) 的立方体和 (0,0, 6) 半径为 2。两个体积确实相交，但球体内没有顶点。

我会采用多遍方法:

检查球体与立方体的轴对齐边界框 -
非常简单的检查，快速拒绝
明显不相交的情况。

检查球心是否在立方体内

您的系统中可能排除了这种可能性，但您应该
还对球体是的情况进行边界框检查
完全在立方体内。

此时，别无选择，只能继续检查 intersections between the sphere and the cube faces .

不过，为了走八叉树的目的，我很想将球体视为轴对齐的边界框，并以较小的误报率生活。得知这比获得绝对正确的交集结果更快，我一点也不会感到惊讶。