scikit-learn - 当 p > n 时 sklearn 如何进行线性回归？

Question

众所周知，当变量数 (p) 大于样本数 (n) 时，未定义最小二乘估计量。

在 sklearn 我收到这个值:

In [30]: lm = LinearRegression().fit(xx,y_train)

In [31]: lm.coef_
Out[31]: 
array([[ 0.20092363, -0.14378298, -0.33504391, ..., -0.40695124,
         0.08619906, -0.08108713]])

In [32]: xx.shape
Out[32]: (1097, 3419)

调用 [30] 应返回错误。在这种情况下，当 p>n 时 sklearn 是如何工作的？

编辑:
似乎矩阵填充了一些值

if n > m:
        # need to extend b matrix as it will be filled with
        # a larger solution matrix
        if len(b1.shape) == 2:
            b2 = np.zeros((n, nrhs), dtype=gelss.dtype)
            b2[:m,:] = b1
        else:
            b2 = np.zeros(n, dtype=gelss.dtype)
            b2[:m] = b1
        b1 = b2

Answer 1

当线性系统欠定时，则 sklearn.linear_model.LinearRegression 找到最小 L2 范数解，即

argmin_w l2_norm(w) subject to Xw = y

这总是可以通过将 X 的伪逆应用于 y 来定义和获得的，即

w = np.linalg.pinv(X).dot(y)

scipy.linalg.lstsq 使用的 LinearRegression 的具体实现使用了 get_lapack_funcs(('gelss',), ...，它正是通过奇异值分解(LAPACK 提供)找到最小范数解的求解器。

看看这个例子

import numpy as np
rng = np.random.RandomState(42)
X = rng.randn(5, 10)
y = rng.randn(5)

from sklearn.linear_model import LinearRegression
lr = LinearRegression(fit_intercept=False)
coef1 = lr.fit(X, y).coef_
coef2 = np.linalg.pinv(X).dot(y)

print(coef1)
print(coef2)

你会看到 coef1 == coef2 。 (注意在sklearn estimator的构造函数中指定了 fit_intercept=False，否则会在拟合模型之前减去每个特征的均值，得到不同的系数)